Cómo demostrar que $e^{-x/2} x^{y-1} \leq 1$ para $x$ lo suficientemente grande y $y\geq 1$

Question

Me pregunto cómo mostrar que $e^{-x/2} x^{y-1} \leq 1$ para $x$ lo suficientemente grande y $y\geq 1$

Pensé que podría tratar de resolver para un $x$ s.t. $e^{\frac{x}{2}} > x^{y-1}$ pero si trato de tomar los registros para deshacerme del $e$ Termino con un registro de $x$ .

Answer 1

No puedes aplicar directamente tu idea de L'Hospital porque al final no te daría una constante si $y$ no es un número entero. Por lo tanto, tendría que utilizar un apretón también.

Otro método: observe que $$e^{-x/2} x^{y-1}=e^{-x/2+(y-1)\ln x}$$ Así que todo lo que tienes que hacer es demostrar que para $a,b\geq0$ , $$\lim_{x\to \infty}(a\ln x-bx)=-\infty$$ Factor por $x$ y aplicar L'Hopital para ver que $\ln x\over x$ tiende a $0$ en el infinito.