¿Expresando el determinante de una suma de dos matrices?

Question

Enlatar

$$\det(A + B)$$

expresarse en términos de

$$\det(A), \det(B), n$$

donde $A,B$ son las matrices $n\times n$?

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Hice la edición para permitir que se tenga en cuenta $n$.

Answer 1

Cuando $n\ge2$, la respuesta es no. Para ilustrar, considere $$ A=I_n,\quad B_1=\pmatrix{1&1\ 0&0}\oplus0,\quad B_2=\pmatrix{1&1\ 1&1}\oplus0. $$ Si $\det(A+B)=f\left(\det(A),\det(B),n\right)$ para alguna función $f$, debería obtener $\det(A+B_1)=f(1,0,n)=\det(A+B_2)$. Pero, de hecho, $\det(A+B_1)=2\ne3=\det(A+B_2)$ sobre cualquier campo.