Demostrar

Question

Me encontré con una asombrosa integral (verificada numéricamente)

PS

¿Qué técnica debemos utilizar para establecerlo? Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que puedes hacerlo un poco más simple.

$$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{\cos(\pi x^2)}{\sinh(\pi x)} - \frac{1}{\pi x}\right) & = \frac{ e^{-\pi x}}{\pi (e^{\pi x} - e^{-\pi x}) x^{3/2}} - \frac{e^{\pi x}}{\pi (e^{\pi x} - e^{-\pi x}) x^{3/2}} \\ &\quad + \frac{e^{-i \pi x^2}}{(e^{\pi x} - e^{-\pi x}) \sqrt{x}} + \frac{e^{i \pi x^2}}{(e^{\pi x} - e^{-\pi x}) \sqrt{x}} \end{align} $$

Estas 4 integrales parecen un poco más fáciles.

$$ \ frac { e ^ {- \ pi x}} {\ pi (e ^ {\ pi x} - e ^ {- \ pi x}) x ^ {3/2}} $$

PS

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