¿Por qué la ecuación de onda diferencial de la EM en los dieléctricos utiliza la permitividad y la permeabilidad del vacío?

Question

He estado leyendo algún libro básico para entender cómo derivar la ecuación de onda de la luz a partir de las ecuaciones de Maxwell, pero esas ecuaciones utilizan la permitividad y permeabilidad del vacío.

Los libros suelen decir que esas constantes deben ser sustituidas a partir de la específica del medio. Pero cuando me pongo a leer cómo derivar el comportamiento de una onda EM en un dieléctrico (isotrópico) parten de la ecuación de onda diferencial deducida de Maxwell, pero con las constantes del vacío.

$$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{P}}{\partial t^2}$$

¿Hay alguna razón para ello? Al final, haciendo algunos pasos con las ecuaciones anteriores para obtener el índice de refracción del dieléctrico, se obtiene como uno de ellos en términos el del vacío (¿es correcto?).

$$\tilde{n}=\sqrt{1+\frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0(w_0^2-w^2+i\gamma w)}}$$

Y también el número de onda (k) estará en términos de la velocidad de la luz en el vacío (c) como k=nw/c, pero si desde el primer momento (en la ecuación diferencial de onda) utilizamos la permitividad y permeabilidad del material, acabaremos con k=nw/v, donde v es la velocidad de la onda en el material (¿no es correcto?)

Sé que no estoy teniendo en cuenta algo (en términos de teoría), pero no consigo averiguar qué es.

Answer 1

En principio, siempre se pueden utilizar las ecuaciones de Maxwell en el vacío (o microscópicas). No hay necesidad teórica de las ecuaciones de Maxwell macroscópicas (las que tienen las constantes dieléctricas de los materiales). Sin embargo, la consecuencia es que hay que incluir explícitamente en el cálculo todas las cargas del sistema, por ejemplo, si se quiere describir la propagación de la luz a través de un vidrio hay que incluir todas las cargas positivas y negativas (núcleos y electrones) que componen el vidrio.

Esto es bastante engorroso e ineficaz, por lo que se introdujeron las ecuaciones macroscópicas de Maxwell. Las ecuaciones macroscópicas de Maxwell se basan en la Polarización $\mathbf{P}$ y la magnetización $\mathbf{M}$ que describen el comportamiento efectivo de un conjunto de cargas totalmente neutras. Esas cargas pueden (y deben) ser descartadas del cálculo explícito y sólo entrar por su Polarización y Magnetización. La ecuación

$$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{P}}{\partial t^2}$$

que has enunciado es, por tanto, ya una ecuación macroscópica e incluye implícitamente la permitividad y la permeabilidad relativas. La permitividad entra explícitamente si utilizamos la suposición típica de que la polarización del material depende linealmente del campo eléctrico externo. Entonces $$ \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E} $$

$$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mu_0\varepsilon_0 \chi_e\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$ $$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\underbrace{(1-\chi_e)}_{\varepsilon_r} \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$$

Para terminar: La ecuación macroscópica de Maxwell con la permitividad y permeabilidad relativas permite excluir parte del sistema del cálculo explícito encapsulando su comportamiento efectivo dentro de la polarización y magnetización. En el ejemplo de la luz dentro del vidrio, esto significa que podemos utilizar las ecuaciones de Maxwell como si no hubiera cargas presentes, es decir, establecer $\rho=0,\;\mathbf{j}=0$ . Sólo cambian la permitividad y la permeabilidad.