Estimación para un problema elíptico sobre funciones continuas

Question

Para un operador elíptico $$ Lu = (a^{ij} D_iD_j + b^i D_i + c)u = f,$$ con supuestos adecuados sobre los coeficientes, se suelen tener estimaciones de Schauder de la forma $$ \|u\|_{C^{2, \alpha}} \leq C(\|f\|_{C^{0, \alpha}} + \|u\|_{L^\infty}).$$ Me interesa el caso $\alpha =0$ . Parece que la afirmación correspondiente es generalmente errónea en este caso.

Por ejemplo, ¿el operador $-\Delta + V$ no es suryente en $C^0(\Omega)$ ? (Donde asumo que $V \geq \varepsilon > 0$ ).

Estoy buscando referencias sobre este tema; la mayoría de las fuentes sólo hablan del caso $\alpha>0$ .

Answer 1

En la referencia estándar de Gilbarg y Trudinger hay un ejemplo de la función $u(x,y)=(x^2-y^2)\log^{1/2}\left(\frac1{x^2+y^2}\right)$ s.t. $\Delta u$ es continua en alguna vecindad del origen, pero $u$ no pertenece a $C^2$ allí. Añadir alguna solución de а ecuación homogénea no ayudaría. Así que $f=\Delta u$ no está en la imagen de la cartografía en cuestión.