Valoraciones procedentes de divisores primos

Question

Estoy tratando de entender de dónde viene la valoración definida por un divisor primo en un esquema integral separado noetheriano regular en codimensión 1.

En concreto, me fijo en este ejemplo: $X = \text{Spec}( \mathbb{C}[x,y,z,w]/(xw-yz))$ y $D= V(x,y)$ el divisor primo correspondiente a $x=0$ y $y=0$ .

Hay dos descripciones que he visto de esta valoración: una es que $D$ tiene un punto genérico $\eta$ (que corresponde aquí al primo mínimo $(x,y)$ aquí en $D$ ). Entonces la valoración $v_D$ es la valoración en $\mathcal{O}_{X,\eta}$ , un DVR.

Así que en este caso $\mathcal{O}_{X,\eta}= \left(\frac{\mathbb{C}[x,y,z,w]}{(x,y)}\right)\bigg|_{(x,y)} \cong \mathbb{C}[z,w]|_0 = \mathbb{C}(z,w)$ . Se trata entonces de un campo con ideal máximo $0$ - por lo que la valoración de $z$ y $w$ son 0 son unidades y la valoración de $x$ y $y$ son indefinidos (ya que son 0). ¿Es esto correcto?

Sin embargo, vi otra descripción que nos hizo considerar $U$ abierto para el que $D \cap U \neq \emptyset$ . Entonces aparentemente tendríamos $D \cap U = \text{Spec} (\mathbb{C}[x,y,z,w]/(xw-yz) / P)$ para algún ideal primo $P$ y luego tenemos que $\mathbb{C}[x,y,z,w]/(xw-yz) / P$ localizado (¿a 0?) nos da un DVR con una valoración en él. Esto me parece aún más confuso.

¿Podría alguien aclarar si mi cálculo anterior es correcto? ¿Podría explicar también la segunda descripción, por favor?

Answer 1

Su descripción de $\mathcal{O}_{X,\eta}$ no es correcto. Debería ser $$\mathcal{O}_{X,\eta} = \left(\frac{\mathbb{C}[x,y,z,w]}{(xw-yz)}\right)_{(x,y)}$$

En este anillo, $x,y$ tienen claramente valoración 1 (están en el ideal máximo $\mathfrak{m} := (x,y)$ pero no en $\mathfrak{m}^2$ ), y $z,w$ tienen valoración 0 ya que son unidades (no están en el ideal $(x,y)$ ).

La segunda definición dice básicamente que para calcular los divisores de la descripción y calcular las valoraciones (lo que básicamente se reduce a calcular los anillos locales), basta con limitarse a un subesquema abierto que intersecte su divisor de forma no trivial. Esto está perfectamente bien simplemente porque los anillos locales (tallos de la gavilla de estructura) son objetos locales, y por lo tanto si $\eta\in X$ y $U\subset X$ está abierto y contiene $\eta$ entonces hay una "igualdad" $\mathcal{O}_{X,\eta} = \mathcal{O}_{U,\eta}$ .