Derivado de $(1-e^{-t})\sigma(t)$

Question

Me cuesta entender la siguiente solución de un ejercicio:
"Dejemos $$a(t)=(1-e^{-t})\sigma{(t)}$$ sea la respuesta escalonada de un sistema LTI. La respuesta al impulso $h(t)$ del sistema se puede obtener utilizando $$h(t)= \frac{d}{dt} a(t) = e^{-t}\sigma{(t)}$$ ."

Mi pregunta es: ¿Por qué $$\frac{d}{dt}(\sigma(t)-\sigma(t)e^{-t})=e^{-t}\sigma{(t)}$$ y no $$\delta(t)-(\delta(t)e^{-t} + \sigma(t)e^{-t})$$ ?? ¿O son las mismas expresiones?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Las expresiones son idénticas. $\delta(t)-(\delta(t)e^{-t} + \sigma(t)e^{-t}) = \delta(t)-(\delta(t) + \sigma(t)e^{-t}) = \sigma(t)e^{-t}$ . $\delta(t)e^{-t}$ sólo no es igual a cero para t=0 por lo que se obtiene $\delta(t)e^0=\delta(t)$