¿Una función secuencialmente continua toma su supremo en compactos?

Question

Considera la siguiente situación: Sea $X$ un espacio métrico separable [si esto ayuda: estoy principalmente interesado en el caso $X = \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$, el espacio de todas las medidas de probabilidad borel en $\mathbb{R}^d$ con la topología de convergencia débil de medidas], $T$ un número positivo y considera una función $F: X^{[0,T]} \to \mathbb{R}$, la cual es secuencialmente continua al considerar la topología del producto de convergencia débil de medidas en $X^{[0,T]}.$

Nota: El espacio $X^{[0,T]}$ no es primero contable (¿correcto?), por lo tanto no está claro si $F$ es continua.

Mi pregunta: ¿Toma $F$ su supremo en un subconjunto compacto $A \subseteq X^{[0,T]}$?

No pude encontrar nada en la literatura sobre esto. Intenté mostrar que $F$ es superior semicontinua, pero no pude hacerlo y tampoco tengo otra idea.

¡Agradecería mucho cualquier ayuda!

Answer 1

Si $A$ es compacto secuencialmente, entonces $F[A]$ es compacto secuencialmente en $\mathbb{R}$ y por lo tanto compacto (ya que los reales son un espacio métrico en el cual estas nociones coinciden) y $F[A]$ tiene un máximo, por lo tanto asume su supremo, digamos $a$. En los comentarios hubo una pregunta adicional sobre $A'=F^{-1}[\{a\}] que fácilmente se ve que es secuencialmente cerrado cuando $F$ es secuencialmente continúo, y por lo tanto también secuencialmente compacto como un subconjunto secuencialmente cerrado de $A$.

Creo que será difícil aplicar este criterio, ya que es complicado caracterizar subconjuntos compactos secuencialmente de un producto grande como $X^{[0,T]}$ que en sí mismo no es compacto secuencialmente (y tampoco es un espacio secuencial), por ejemplo, muchos productos $\Sigma$-productos son densos y compactos secuencialmente en este producto, como es bien conocido. Creo que se ha trabajado en esto para espacios $C_p$ pero no tengo conocimiento de una caracterización general más allá de la definición.