vector tangente en una variedad compleja

Question

Dejemos que $x_1,x_2, \ldots, x_n$ sean coordenadas locales en una variedad $M$ . Se puede interpretar $\frac{\partial}{\partial x_i}(p)$ como vector tangente a una curva con constante $x_j$ (donde $j \neq i$ ). ¿Cuál es la interpretación de $\frac{\partial}{\partial z_i}(p)$ en un colector complejo en coordenadas locales? Estaré encantado de recibir cualquier referencia.

Answer 1

Me parece que los textos estándar son un poco breves al explicar esto. Estuve confundido al respecto durante mucho tiempo. Esta va a ser una respuesta bastante larga.

En primer lugar, vamos a empezar con un colector liso $M$ con dimensión $n$ . Sea $ \mathscr{S}$ sea el conjunto de funciones suaves sobre $M$ . Más concretamente, $ \mathscr{S}(U)$ es el $ \mathbb{R}$ -álgebra de funciones suaves $U \to \mathbb{R}$ . Vamos a definir otra gavilla en $M$ . Sea $ \mathscr{C}$ sea el conjunto de funciones suaves de valor complejo sobre $M$ . Más concretamente, $ \mathscr{C}(U)$ es el $ \mathbb{C}$ -álgebra de funciones suaves $ U \to \mathbb{C}$ donde por suave, quiero decir que cada función componente es suave. Es un resultado estándar de la geometría diferencial que los campos vectoriales en $ U \subseteq M$ son los mismos que $ \mathbb{R}$ -Mapas lineales $ D : \mathscr{S}(U) \to \mathscr{S}(U)$ Satisfaciendo a $D(fg) = f D(g) + g D(f) $ . Estos se llaman $ \mathbb{R}$ -derivaciones lineales.

Es natural que se plantee la siguiente pregunta: ¿Son los $ \mathbb{C}$ -derivaciones lineales $ \mathscr{C}(U) \to \mathscr{C}(U)$ secciones suaves de algún haz vectorial sobre $U$ ? La respuesta es sí. Esta es la idea (para hacerla rigurosa se requiere bastante más trabajo. Inpaticularmente, en algún momento hay que juguetear con las particiones de la unidad). En primer lugar, si $ D: \mathscr{S}(U) \to \mathscr{S}(U)$ es un $ \mathbb{R}$ -derivación lineal, entonces $D(\alpha + i \beta) = D \alpha + i D \beta$ define un $\mathbb{C}$ -derivación lineal $ \mathscr{C}(U) \to \mathscr{C}(U)$ . Supongamos ahora que $U$ es pequeño, $x_1, \dots, x_n$ son coordenadas en $U$ y $ D : \mathscr{C}(U) \to \mathscr{C}(U)$ es un $ \mathbb{C}$ -derivación. El teorema de Taylor nos dice que $$ D (\alpha + \beta i) = \sum c_j \frac{\partial (\alpha + \beta i)}{\partial x_j} \quad c_j \in \mathscr{C}(U). $$ Esto es exactamente una sección suave de $$ TM \otimes_{\mathbb R} \mathbb{C} = \coprod_{p \in M} T_p \otimes_{\mathbb R} \mathbb{C} $$ Antes de empezar a hablar de las variedades complejas, observe que todavía tenemos el emparejamiento no degenerado $$ TM \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \times TM^* \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \to \mathscr{C} $$ definido por $( \partial / \partial x_i , dx_j) \mapsto \delta_{ij}$ . Esto nos permite definir el diferencial de $ f \in \mathscr{C}(U) $ por $ (\partial / \partial x_i, df) = \partial f / \partial x_i $ .

Bien, ahora dejemos $X$ sea una variedad compleja de dimensión compleja $n$ . Sea $z_j = x_j + i y_j$ sean coordenadas holomórficas en $U \subseteq X$ . Entonces ambos $z_j $ y $ \overline{z_j}$ están en $ \mathscr{C}(U)$ . Inpaticularmente, tenemos que $ dz_j = d x_j + i d y_j $ y $ d \overline{z_j} = dx_j - i dy_j$ . A partir de las ecuaciones $ 2 dx_j = dz_j + d \overline{z_j}$ y $ 2i dy_j = dz_j - d \overline{z_j} $ se deduce que las secciones de $ TM^* \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ en $U$ vienen dadas por $$ \sum_j f_j dz_j + g_j d \overline{z_j} \quad f_j,g_j \in \mathscr{C}(U) $$ Bajo el emparejamiento no degenerado, la base dual a $ dz_j, d \overline{z_j}$ viene dada por $$ \frac{\partial}{\partial z_j} = 1/2 \left( \frac{\partial}{\partial x_j} - i \frac{\partial}{\partial y_j} \right) $$ $$ \frac{\partial}{\partial \overline{z_j}} = 1/2 \left( \frac{\partial}{\partial x_j} + i \frac{\partial}{\partial y_j} \right) $$ Así es como pienso en $ \partial / \partial z_j$ .

Answer 2

La respuesta de DBr es muy buena. Aquí hay otra manera de pensar en ello:

En un colector liso, como dice el OP, una forma de pensar en $\dfrac{\partial}{\partial {x_i}}$ en $p$ es como tomar la derivada a lo largo de la curva $x_j =$ constante para $j \neq i$ . En otras palabras, obtenemos un mapa $\gamma$ de un intervalo $I$ alrededor de $0$ al colector $M$ , tomando $0$ a $p$ y tomando $t$ a $(0,\ldots, t, \ldots, 0)$ (suponiendo que las coordenadas se eligen de manera que $p$ está en el origen), donde $t$ aparece en el $i$ y todas las demás coordenadas son $0$ . Podemos componer una función $f$ con $\gamma$ y luego diferenciar $f\circ \gamma$ por ejemplo $t$ . Esto da el valor de $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ en $p$ .

De forma similar, en una variedad compleja con coordenadas locales. $z_i$ podemos definir un mapa $\gamma$ exactamente de la misma manera, pero ahora tomando un n.h. $U$ de $0$ en el plano complejo a $M$ (así $t$ es ahora una variable compleja en lugar de real). Si $f$ es una función holomórfica en $M$ entonces el compuesto $f\circ \gamma$ es una función holomórfica en $x$ y podemos diferenciarlo con respecto a $t$ . Esto da $\dfrac{\partial f}{\partial z_i}$ en $p$ .