grupos no isomorfos cuyos cocientes son isomorfos

Question

Supongamos que tenemos dos grupos $A$ y $B$ tal que $C \subset A$ y $C \subset B$ donde $C$ es un subgrupo normal de ambos $A$ y $B$ . Si tenemos eso $A/C \cong B/C$ ¿es cierto que $A \cong B$ ? Me parece que esto no debería ser cierto, pero no encuentro ningún contraejemplo y mis intentos de demostrarlo hasta ahora han sido infructuosos. Sería bueno encontrar un contraejemplo finito si es posible.

Este no es el caso cuando $A$ y $B$ tienen subgrupos isomorfos $C$ y $C'$ tal que $A/C \cong B/C'$ . He excluido intencionadamente estos casos por considerarlos poco interesantes. Los subgrupos pueden incrustarse de todo tipo de formas extrañas en otros grupos. Esto obliga al subgrupo $C$ en $A$ para que sea realmente el mismo conjunto dentro de $B$ .

Answer 1

Como contraejemplo, tomemos $A = \mathbb Z_4$ el grupo cíclico de orden $4$ y $B = \mathbb Z_2 \times\mathbb Z_2$ el producto de dos grupos cíclicos de orden $2$ .

Ambos $A$ y $B$ contienen un subgrupo $C$ isomorfo a $\mathbb Z_2$ y $A/C\cong B/C\cong\mathbb Z_2$ pero $A$ y $B$ no son isomorfas.

Answer 2

Considere $A=\{0,1,2,3\}$ , donde $0,1,2,3$ son sólo cuatro símbolos distintos. Gire $A$ en un grupo interpretando estos símbolos como los elementos de $\mathbb Z_4$ el grupo habitual. Ahora dejemos que $B=\{0,2,2',2''\}$ donde $0,2$ son los mismos símbolos en $A$ y $2',2''$ son dos nuevos símbolos. Girar $B$ en un grupo de manera que cada elemento tenga un orden como máximo $2$ y por eso $0$ es el elemento de identidad (esto se puede hacer precisamente de una manera). Ahora bien, $C=\{0,2\}$ es un subgrupo de ambos $A$ y $B$ los cocientes son obviamente isomorfos, pero $A$ y $B$ no son isomorfas.

Answer 3

Si estás dispuesto a debilitar tu condición para $C \subset A$ y $C' \subset B$ , donde $C \cong C'$ entonces la respuesta a su pregunta es no.

Toma $A = \mathbb{Z}_4$ , $B = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ , $C = \{0, 2\}\subset A$ y $C' = \{(0,0), (1,1)\}\subset B$ . Entonces $C \cong C'$ y $A/C \cong B/C'\cong \mathbb{Z}_2$ pero $A \not\cong B$ .

No estoy seguro de que esto se extienda a una respuesta a la pregunta tal y como está formulada, pero puede que se acerque lo suficiente como para satisfacer tu curiosidad.