Así que necesito demostrar que para la unión de $n$ para ser un subespacio, cada subespacio debe ser un subconjunto de otro de los subespacios. Mi proceso de pensamiento hasta ahora es que tengo que demostrar que es posible que una unión de $n$ subespacios para ser un subespacio (lo cual demostré). y que necesito demostrar que si un elemento está en algún subespacio de $w_j$ y no en la unión, entonces la unión no es un subespacio. (No consigo averiguar cómo probar esta parte). Alguna pista o consejo, he estado trabajando en ello durante un tiempo, siento que me falta una solución obvia.
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justartem
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Dejemos que $\mathcal F$ sea una familia finita de subespacios de $V$ un campo vectorial sobre un campo infinito $F$ .
Queremos demostrar $\bigcup\limits_{W\in \mathcal F}W\neq \bigoplus\limits_{W\in \mathcal F}W$ .
Demostraremos si $\mathcal J$ es una familia finita de subespacios propios de $\bigoplus\limits_{W\in F}W$ entonces $\bigcup\limits_{W\in \mathcal J}W\neq \bigoplus\limits_{W\in \mathcal F}W$ . Por inducción sobre $|\mathcal J|$ El caso base es trivial. Obsérvese que podemos tomar $\mathcal J$ por lo que ningún subespacio contiene a otro.
Paso inductivo:
Toma $W\in \mathcal J$ y tomar $w\in W$ para que no esté en ninguno de los otros subespacios (posible por paso inductivo). Tomar un vector no nulo $v\not\in W$ , entonces el conjunto $A=\{fw+v|f\in F\}$ es infinito ya que $F$ es infinito.
Además, cualquier $U\in \mathcal J$ contiene como máximo un elemento de $A$ . Claramente $W$ no contiene ninguno de ellos. Si otro subespacio contiene $fw+v$ y $gw+v$ contendría $(f-g)w$ por lo que contendría $w$ una contradicción.
Por lo tanto, cada subespacio contiene como máximo un elemento de $A$ ya que $A$ es infinito entonces esto significa que algunos elementos de $A$ no están en $\bigcup\limits_{W\in \mathcal J}W$ . Por lo tanto, $\bigcup\limits_{W\in \mathcal J}W\neq \bigoplus\limits_{W\in \mathcal F}W$ como se desee.
Gus Fune
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Asumamos la negativa del enunciado, cada subespacio debe ser un subconjunto de otro subespacio (excepto el "mayor").
Entonces existe un subespacio $W_i$ , donde $W_i \not \subset W_j$ para todos $j \neq i$ y $W_j \not \subset W_i$ para al menos una j, denotada por $W_k$ . Si esta última condición no se cumple, entonces $W_i$ sólo sería el conjunto "más grande" como se señala en su comentario.
Ahora la primera condición dice que para cada par $W_i, W_j$ hay un elemento, llámalo $w_{ij}$ tal que $w_{ij} \in W_i$ y $w_{ij} \not \in W_j$ . El segundo dice que hay un subespacio $W_k$ que tiene un elemento, llámalo $w_k$ que no está en $W_i$ .
Ahora bien, tenga en cuenta que $\sum_{j \neq i} w_{ij} \in W_i$ desde $W_i$ es un subespacio. Sin embargo, $w_{ij} \not \in W_j$ para todos $j \neq i$ y así $\sum_{j \neq i} w_{ij} \not \in W_j$ para todos $j \neq i$ . (Si la suma fuera en $w_j$ entonces $w_{ij}$ sería en $W_j$ porque $W_j$ es un subespacio, lo cual es una contradicción de nuestra definición de $w_{ij}$ ). Por lo tanto, $\sum_{j \neq i} w_{ij} \not \in \cup \,W_j$ .
Ahora toma $v = w_k + \sum_{j \neq i} w_{ij}$ . Esto no es en $W_i$ porque esto implicaría que $w_k$ está en $W_i$ lo que contradice nuestra suposición anterior. Tampoco está en $\cup \, W_j$ porque esto implicaría $\sum_{j \neq i} w_{ij}$ sería en $\cup \, W_j$ (esto supone que $\cup \, W_j$ es un subespacio, lo cual debe ser cierto, pues de lo contrario ya hemos terminado). Así que hemos demostrado que v no está en $\cup \, W_j$ para todo j, lo que significa que la unión de los subespacios no es cerrada bajo adición, lo que significa que no es un subespacio.
