¿Podemos calcular la probabilidad de que $f(x)$ es positivo para un valor elegido al azar de $x\in(0,m)$ como $m\to\infty$ ? (distribución uniforme)

Question

A raíz de mi pregunta anterior aquí Tengo esta función $$f(x)=10+3 \cos (ax-bx)+13 \cos (ax+bx)+2 \cos (\frac32 a x)+17 \cos (b x),$$ con $\frac ab \notin \mathbb{Q}$ .

Cuál es el límite $$ \lim_{m\to\infty} \frac 1m \int_{0}^{m} {\bf 1}[f(x)>0] \,dx?$$

¿Existe el límite? ¿Existen límites similares para funciones con más términos en la suma?

Se agradece cualquier sugerencia y comentario.

Answer 1

Una muestra Mathematica código para encontrar el área de la región dada en el comentario de Anthony Quas es:

NIntegrate[
 Boole[10 + 3 Cos[2 x - 2 y] + 13 Cos[2 x + 2 y] + 2 Cos[3 x] + 17 Cos[2 y] > 0],
 {x, 0, 2 Pi},
 {y, 0, 2 Pi}]

La salida es 29.7118 pero Mathematica se queja de la lentitud de la convergencia. Uno puede intentar, digamos:

NIntegrate[
 Boole[10 + 3 Cos[2 x - 2 y] + 13 Cos[2 x + 2 y] + 2 Cos[3 x] + 17 Cos[2 y] > 0],
 {x, 0, 2 Pi},
 {y, 0, 2 Pi},
 WorkingPrecision -> 100, 
 MaxRecursion -> 20]

Pero esto no afecta ni a la respuesta ( 29.7117875164... ) ni las quejas.

Otras formas de realizar la misma tarea, que implican por ejemplo ImplicitRegion no parecen funcionar mejor.

Answer 2

Aunque el comando de Mathematica NIntegrate[] probablemente producirá una salida con algunos dígitos correctos, no garantizará ninguno de ellos.

Para obtener dicha garantía, se puede dividir el cuadrado $[0,2\pi]\times[0,2\pi]$ en una cuadrícula de $n\times n$ cuadrados congruentes más pequeños (con $n$ igual, digamos, $50$ ). En cada cuadrado más pequeño, utiliza una expansión de Taylor de la función coseno, con un resto controlado, para acotar cada uno de los cuatro términos del coseno en la expresión del integrando (digamos $f$ ) por un polinomio. Usando entonces (digamos) el comando Reduce[] de Mathematica, obtendrá un signo constante de $f$ en cada una de las plazas más pequeñas, con algunas excepciones. Repita este procedimiento en cada uno de los restantes cuadrados más pequeños excepcionales. Continúe haciéndolo hasta que el área total de los restantes cuadrados pequeños excepcionales sea lo suficientemente pequeña como para ser considerada insignificante.

Las guías visuales para este procedimiento podrían ser de ayuda:

En particular, un hecho útil que parece haberse pasado por alto es que el más pequeño $y$ -período de $f(x,y)$ es por supuesto $\pi$ en lugar de $2\pi$ .

Answer 3

Usando la sugerencia de Anthony no debería ser difícil. Aquí hay un código Matlab muy sencillo. Esto debería ilustrar el método general. Uno puede, por supuesto, cambiar la función y también afinar detalles como la forma de elegir los puntos de evaluación, cuántos, y así sucesivamente.

function beat(a,b)

    % Method 1: Just take a long interval.
    M = 2000*pi;
    N = 1e8;
    x = linspace(0,M,N);
    mean(f(x,a,b) > 0)

    % Method 2 (Anthony Quas): Sample random points
    % from the [0,2pi]^2 torus, and do Monte Carlo integration.
    s = unifrnd(0, 2*pi, 1, N);
    t = unifrnd(0, 2*pi, 1, N);
    mean(g(s,t,a,b) > 0)

end

function result=f(x,a,b)
    result = 10+3*cos(a*x-b*x)+13*cos(a*x+b*x)+2*cos(3/2*a*x)+17*cos(b*x);
end

function result=g(s,t,a,b)
    result = 10+3*cos(2*s-2*t)+13*cos(2*s+2*t)+2*cos(3*s)+17*cos(2*t);
end