Pregunta de Trig. ¿Puedes encontrar el ángulo $x$ y $y$ ¿o se necesita más información?

Question

Necesito ayuda para encontrar el ángulo $x$ y $y$ para poder obtener otras medidas como la altura y la hipotenusa. El lado adyacente (base) del triángulo de la izquierda es $\;\dfrac12\;$ y el lado adyacente del triángulo de la derecha es $\;\dfrac14\;$ . Ambos triángulos son rectos y el ángulo $x$ y $y$ se suma a $108$ grados. ¿Existe algún teorema que se pueda utilizar aquí? Esta pregunta no es para un trabajo escolar, así que no sé si se puede encontrar una respuesta.

Answer 1

$$\begin{align}\tan(x)=\frac{O}{A}&=\frac{1/2}{A}\implies A=\frac{1}{2\tan(x)}\\\tan(y)=\frac{1/4}{A}&=\frac{2\tan(x)}{4}\\ \implies 2\tan(y)&=\tan(x)\\ \implies 2\tan(108-x)&=\tan(x)\\2\tan(108-x)&=2\cdot\frac{\tan(108)-\tan(x)}{1+\tan(108)\tan(x)}\\\tan(x)(1+\tan(108)\tan(x))&=2(\tan(108)-\tan(x))\\0&=\tan(108)\tan^2(x)+3\tan(x)-2\tan(108)\end{align}$$

Y puedes usar la fórmula cuadrática para ir desde aquí. He utilizado la identidades tangentes . Aquí, $A$ se refiere a la vertical media que divide $x$ y $y$ , adyacente a ambos ángulos.

Answer 2

También se podría aplicar la ley de los senos para escribir para cada triángulo

$$ \frac{\sin x}{\frac12} \ = \ \frac{\sin (90º - x)}{h} \ \ \ , \ \ \ \frac{\sin y}{\frac14} \ = \ \frac{\sin (90º - y)}{h} $$

[ $ \ h \ $ siendo la altitud dibujada en el triángulo; $ \ y \ $ se sustituye por $ \ 108º - x \ $ ]

$$ \Rightarrow \ \ h \sin x \ = \ \frac12 · \cos x \ \ \ , \ \ \ h \sin (108º - x) \ = \ \frac14 · \cos (108º - x) \ \ ; $$ [ampliando la segunda ecuación mediante las fórmulas de "sustracción de ángulos" para el seno y el coseno] $$ h · ( \sin 108º \cos x \ - \ \cos 108º \sin x) \ \ = \ \ \frac14 · (\cos 108º \cos x \ + \ \sin 108º \sin x) $$ [insertando la relación en la primera ecuación de la ley de los senos] $$ \Rightarrow \ \ h \sin 108º \cos x \ - \ \cos 108º · \frac12 · \cos x \ \ = \ \ \frac14 \ \cos 108º \cos x \ + \ \frac14 \ \sin 108º · \frac{1}{2h} · \cos x $$ [desde $ \ x \neq 90º \ \ , \ \cos x \ $ no puede ser igual a cero] $$ \Rightarrow \ \ h \sin 108º \ - \ \frac12 · \cos 108º \ = \ \ \frac14 \ \cos 108º \ + \ \frac{1}{8h} · \sin 108º $$

$$ \Rightarrow \ \ \ 8h^2 \sin 108º \ - \ h · \left(\frac{24}{4} · \cos 108º \right) \ - \ \sin 108º \ = \ 0 \ \ . $$

Ahora se puede determinar la altitud a partir de esta ecuación cuadrática (sólo una raíz es positiva). Si los valores de $ \ x \ $ y $ \ y \ $ se necesitan, se pueden calcular a partir de las relaciones de la Ley de Senos anteriores: $$ h \sin x \ = \ \frac12 · \cos x \ \ \Rightarrow \ \ x \ = \ \arctan \left( \frac{1}{2h} \right) \ \ \ \text{and similarly} \ \ \ y \ = \ \arctan \left( \frac{1}{4h} \right) \ \ . $$ [El pequeño triángulo de la derecha es casi isósceles derecho].

$ \ \ $

EDITAR (una hora más tarde): Se me ocurrió otro enfoque mientras daba un paseo, pero resultó ser menos ordenado de lo que había imaginado en un principio.

También podemos emplear la Ley de los Cosenos. Si designamos los lados izquierdo y derecho del triángulo grande como $ \ a \ $ y $ \ b \ $ tenemos $$ a^2 \ + \ b^2 \ - \ 2ab · \cos(x+y) \ \ = \ \ \left(\frac12 + \frac14 \right)^2 \ \ , $$ con los dos triángulos rectos que nos dan $ \ a^2 \ = \ h^2 + \left( \frac12 \right)^2 \ $ y $ \ b^2 \ = \ h^2 + \left( \frac14 \right)^2 \ \ . $ Esto nos lleva a

$$ h^2 + \frac14 \ + \ h^2 + \frac{1}{16} \ - \ 2ab · \cos 108º \ = \ \frac{9}{16} \ \ \Rightarrow \ \ h^2 \ - \ ab · \cos 108º \ \ = \ \ \frac18 $$ $$ \Rightarrow \ \ \left( \ h^2 - \frac18 \ \right)^2 \ = \ \ a^2·b^2 · \cos^2 108º $$ $$ \Rightarrow \ \ \ h^4 \ - \ \frac14 · h^2 \ + \ \frac{1}{64} \ = \ \ \left( \ h^4 \ + \ \frac{5}{16}·h^2 \ + \ \frac{1}{64} \ \right) · \cos^2 108º \ \ . $$

Esto produce una ecuación biquadrática para $ \ h \ \ , $ con cuatro ceros simétricos, dos negativos, un cero positivo que está de acuerdo con el resultado de $ \ h \ $ en el primer método, y un segundo cero positivo espurio que corresponde a valores de $ \ x \ $ y $ \ y \ $ que no suma a $ \ 108º \ \ . $

Answer 3

Reproduzcamos el diagrama con algunos añadidos:

Desde $\tan(x)=\frac1{2h}$ y $\tan(y)=\frac1{4h}$ tenemos $$ \tan(x)=2\tan(y)\tag1 $$ Utilizar la proporción áurea, $\phi=\frac{1+\sqrt5}2$ ya que $x^5-1=(x-1)\left(x^2+\phi x+1\right)\color{#C00}{\left(x^2-x/\phi+1\right)}$ , obtenemos que $\color{#C00}{\cos\left(\frac{2\pi}5\right)=\frac1{2\phi}}$ . Así, $\sec\left(\frac{2\pi}5\right)=2\phi$ y $\tan\left(\frac{2\pi}5\right)=\sqrt{3+4\phi}$ y, por lo tanto, $\tan\left(\frac{3\pi}5\right)=-\sqrt{3+4\phi}$ .

Así, $$ \begin{align} -\sqrt{3+4\phi} &=\tan\left(108^{\large\circ}\right)\tag{2a}\\[9pt] &=\tan(x+y)\tag{2b}\\[6pt] &=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}\tag{2c}\\ &=\frac{3\tan(y)}{1-2\tan^2(y)}\tag{2d} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(2a)}$ : texto precedente
$\text{(2b)}$ : $x+y=108^{\large\circ}$
$\text{(2c)}$ Fórmula de la tangente de una suma
$\text{(2d)}$ : aplicar $(1)$

Reorganización de $\text{(2d)}$ da $2\tan^2(y)-\frac3{\sqrt{3+4\phi}}\tan(y)-1=0$ . Por lo tanto, ya que $\tan(y)\gt0$ , $$ \begin{align} \tan(y) &=\frac{\frac3{\sqrt{3+4\phi}}+\sqrt{\frac9{3+4\phi}+8}}4\tag{3a}\\ &=\frac{3+\sqrt{33+32\phi}}{4\sqrt{3+4\phi}}\tag{3b}\\[3pt] y&\approx44.758633824^{\large\circ}\tag{3c} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(3a)}$ Fórmula cuadrática
$\text{(3b)}$ : simplificar
$\text{(3c)}$ : aproximación

y $$ \begin{align} \tan(x) &=\frac{3+\sqrt{33+32\phi}}{2\sqrt{3+4\phi}}\tag{4a}\\[3pt] x&\approx63.241366176^{\large\circ}\tag{4b} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(4a)}$ : $\tan(x)=2\tan(y)$
$\text{(4b)}$ : aproximación

Utilizando cualquiera de los dos $(3)$ o $(4)$ , obtenemos que $$ \begin{align} h &=\frac{\sqrt{3+4\phi}}{3+\sqrt{33+32\phi}}\tag{5a}\\ &\approx0.25211524\tag{5b} \end{align} $$

Answer 4

Aquí hay un enfoque que es esencialmente geométrico, excepto justo al final.

Primero encontramos el circuncentro del triángulo dado. Por el hecho de que $x+y = 108^\circ$ sabemos que el ángulo $x+y$ subtiende un arco de $216^\circ$ en la circunferencia, por lo que el ángulo central subtendido por el triángulo entero es $360^\circ - 216^\circ = 144^\circ.$ Por lo tanto, el circuncentro está en el $144^\circ$ vértice de un triángulo isósceles cuya base es el lado largo del triángulo dado pero que se encuentra en el lado opuesto de ese segmento de línea.

En términos trigonométricos, la altitud del triángulo isósceles es $\frac38 \tan 18^\circ$ y el circunradio del triángulo dado es $\frac38 \sec 18^\circ.$ Pero estas longitudes también son geométricamente construibles, por lo que somos capaces de expresarlas en términos de raíces cuadradas y aritmética elemental sobre enteros.

Ahora ponemos el circuncentro del círculo en las coordenadas $(0,0)$ en un $u,v$ Plano cartesiano. (Explotar el enunciado del problema por utilizar $x$ y $y$ como valores angulares). Encontramos la intersección de la recta $u = \frac18$ y el círculo sobre $(0,0)$ con radio $\frac38 \sec 18^\circ.$ Esto establece una ecuación cuadrática que resolvemos para encontrar la coordenada $v$ del punto de intersección, y entonces la altitud del triángulo dado es $h = v - \frac38 \tan 18^\circ.$

En este punto hemos construido geométricamente el triángulo dado y los dos ángulos solicitados, pero esto no da sus medidas en grados. Para ello necesitamos un poco de trigonometría. Sin embargo, si realmente quisiéramos esos ángulos para encontrar la altitud del triángulo dado y los dos lados desconocidos, ya tenemos la altitud y podemos encontrar los lados restantes por el Teorema de Pitágoras sin dar rodeos a través de la trigonometría.

En cualquier caso, si realmente los quieres, los ángulos deseados son $x = \arctan\frac{1/2}{h}$ y $y = \arctan\frac{1/4}{h}.$