¿Cómo calcular el primer valor propio del operador de Laplace en una elipse?

Question

Dejemos que $\mathcal{E}$ sea una elipse en el $\mathbb{R}^2$ plano con centro en $o=(0,0)$ , dada la distancia focal $c\geq 0$ y el área dada $A>0$ .

Es un hecho que el Problema de valores propios para el operador de Laplace con condición de contorno homogénea de Dirichlet es decir:

$$\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=-\lambda u, &\text{in } \mathcal{E}, \\ u=0, &\text{on } \partial \mathcal{E}, \end{cases} $$

tiene soluciones para infinitos valores positivos de $\lambda$ : estos valores se denominan valores propios del operador de Laplace en $\mathcal{E}$ en particular, existe un valor propio $\lambda_1(c)$ que es el más pequeño: $\lambda_1(c)$ se llama primer valor propio del operador de Laplace y tiene algunas buenas propiedades (por ejemplo, es simple para el eigespacio asociado a $\lambda_1(c)$ es unidimensional).

Ahora bien, si $\mathcal{E}$ es un círculo (esto puede ocurrir sif $c=0$ ) es bien sabido que $\lambda_1(0)=\frac{\pi}{A}\ j_{0,1}^2$ , donde $j_{0,1}\approx 2.40483$ es el primer cero de la función de Bessel $\text{J}_0(x)$ .

Las preguntas que me interesan son las siguientes:

1. ¿Qué pasa con $\lambda_1(c)$ si $\mathcal{E}$ es una elipse "verdadera" (es decir, si $c> 0$ )? ¿Puede evaluarse explícitamente (en términos de algunas funciones especiales)?
2. Y cómo los diferentes valores de $c$ sesgar el valor de $\lambda_1(c)$ alrededor de $0$ ?

Se sabe que $\lambda_1(c)\geq \lambda_1(0)$ con igualdad si $\mathcal{E}$ es un círculo (es decir, si $c=0$ ; este es el famoso Desigualdad Faber-Krahn ), pero también parece bastante obvio que $\lambda_1(c)$ tiene que mostrar una especie de continuidad en $0$ De hecho, se espera que $\lim \limits_ {c\to 0^+} \lambda_1(c) = \lambda_1(0)$ ...

Ahora, he investigado un poco en la red. En el caso $c>0$ se puede introducir el coordenadas elípticas $(\mu ,\nu)$ :

$$\begin{cases} x=c\cosh \mu \cos \nu, \\ y=c\sinh \mu \sin \nu ,\end{cases} $$

por lo que la ecuación $u_{xx}+u_{yy}=-\lambda u$ se transforma en:

$$u_{\mu\mu} +u_{\nu \nu} =-c^2 \lambda (\sinh^2 \mu +\sin^2 \nu) u $$

que es más difícil de resolver con separación de variables que la ecuación del círculo; sin embargo, se aplica la separación de variables y se obtiene un par de las llamadas _Ecuaciones diferenciales de Mathieu_ que son una especie de feo contraparte de la ecuación diferencial de Bessel...

Pero entonces no puedo averiguar cómo calcular $\lambda_1(c)$ (ni para los fijos $c$ ni para variar $c$ ¡)!

¿Tengo que utilizar algunas tablas (como las de Abramowitz & Stegun, §20 )? Y, en el caso positivo, ¿cómo se pueden utilizar?

Si tiene alguna referencia que pueda valer la pena leer, no dude en sugerirla.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Me gusta esta pregunta. No he tenido el aguante de investigar la cuestión con demasiada precisión, pero esto es lo que he obtenido hasta ahora de Abramowitz y Stegun. Como han dicho, la función propia será descrita por las funciones de Mathieu. Más concretamente, en la página 722 estudian la "ecuación de onda para el cilindro elíptico" (yo la llamaría ecuación de Helmholtz...) utilizando la separación de variables. Para tu caso quieres tomar $\varphi = $ constante porque sólo tienes dos variables. Esto significa que su función propia está dada por $f(u)g(v)$ donde $f$ y $g$ resolver la ecuación de Mathieu modificada y la de Mathieu, respectivamente, como en 20.1.6. En las ecuaciones se tiene un parámetro $q$ que depende de la elipse (creo que para ti $q = \lambda_1(c) \cdot c^2/4$ ) y tiene un parámetro $a$ que proviene de la separación de variables y que debemos determinar junto con $\lambda_1(c)$ . También puede encontrar estas ecuaciones en la página de wikipedia de Funciones de Mathieu .

Aquí $u$ es la variable "radial" y $v$ es la variable "angular" (la imagen en la página de wikipedia para coordenadas elípticas que ha enlazado más arriba lo describe muy bien). Esto significa que $g$ debe ser $2\pi$ periódico para definir una función en la elipse, y $f$ debe desaparecer en $1$ para satisfacer la condición de contorno de Dirichlet (para simplificar esta parte he renormalizado su área para que la elipse pase por $(x,y) = (c\cosh 1,0)$ ). Además, ambos deben ser positivos dentro de la elipse, porque el estado básico es siempre positivo. En las siguientes páginas tienes un estudio que te dice qué $a$ conducen a soluciones periódicas. La única que nunca se desvanece es $a_0(q)$ y esto da una solución $g(v) = \textrm{ce}_0(v)$ que se representa en la figura 20.2.

Ahora hemos identificado la parte angular de la función propia, a saber $g(v) = \textrm{ce}_0(v)$ y el parámetro $a = a_0(q) \approx - q^2/2$ (para $q$ pequeño -- esto equivale a $c$ siendo pequeño) que tiene una expansión dada en 20.2.25. Para fijar el valor propio $\lambda_1(c)$ lo introducimos en la ecuación de $f(u)$ y vemos cuál es el menor valor positivo que nos da una solución que tiene $f'(0) = 0$ (por lo que la solución es suave) y tiene $f(1) = 0$ .

Si mis cálculos son correctos, $f(\pm iv)$ resuelve la misma ecuación que $g(v)$ Así que podemos tomar (¡esta parte no es precisa! -- aquí tendrás que hacer algún tipo de argumento de aproximación) $f(u) = \textrm{ce}_0(iu)$ . Entonces la expansión 20.2.27 dice que si $q$ es pequeño, entonces $f(u) = \textrm{ce}_0(iu) \approx 1 - \frac q 2 \cosh(2u)$ que tiene $f'(0) = 0$ . Si $f(1) = 0$ entonces $q = 2/\cosh2$ y obtenemos $\lambda_1(c) = \frac 8 {c^2 \cosh(2)}$ . Para comparar con su respuesta para un círculo, debemos renormalizar el área. Esta elipse tiene el área $A =\pi c^2 \sinh 1 \cosh 1$ , dando $$ \lambda_1(c) \approx \frac {8 \pi \sinh 1 \cosh 1}{A \cosh 2} \approx 3.9 \frac \pi A$$

Esta no es la respuesta correcta (debería haber obtenido 5,8 en lugar de 3,9), y creo que el problema viene del hecho de que la aproximación $\textrm{ce}_0(iu) \approx 1 - \frac q 2 \cosh(2u)$ no es bueno cerca de $u=1$ aunque $q$ es muy pequeño. Lo que realmente necesitas es información sobre los ceros de las funciones de Mathieu, que estoy demasiado cansado para buscar... ¡vuelve a publicar si encuentras algo!

Answer 2

En cada década de los últimos cincuenta años, una o varias personas han trabajado para encontrar una respuesta fácil a este problema. ¿Existe una fórmula sencilla que permita calcular cualquier valor propio de la elipse (junto con su función propia asociada)? Se pueden utilizar las funciones de Mathieu, pero el algoritmo no es "sencillo", ya que algunos (como yo) consideran que las funciones de Mathieu son las funciones especiales más difíciles de trabajar.

Por simple, quiero decir: Especificar sólo los dos semiejes (o el área de la elipse y la excentricidad) y a qué modo de círculo correspondería, es decir, o bien J_m(j_mn r/R)*cos(m th) o bien J_m(j_mn r/R)*sin(m th), y a partir de ahí calcular el valor propio. Dan Henry (alrededor de 1985) fue el que más se acercó a resolverlo, pero 2xTroesch (1973) también estuvo cerca. Siendo ahora mi turno, este es mi primer intento: https://arxiv.org/abs/1802.07768 (que tiene referencias relevantes).