Simplificando $z^2+i=0$

Question

Necesito simplificar $z^2+i=0$ y encontrar todas las soluciones para $z$ . He visto que las soluciones a $z=\sqrt{i}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ . Esperaba encontrar una solución similar para $z=\sqrt{-i}\,$ pero mi intento me da $z=\pm i^{\frac{3}{2}}$

$$z=re^{i\theta} \,\,\& \,\, e^{i\pi}=-1 $$ entonces, $$(re^{i\theta})^2=-i\\r^2e^{i2\theta}=ie^{i\pi+k(2\pi)}$$ donde $k\in\mathbb{Z}$ .

Por lo tanto, tenemos $\begin{cases} r^2=i \,\,\,\therefore r=\sqrt{i}\\ \theta=k\pi \end{cases}$

Entonces, $$z_k=\sqrt{i} \, e^{i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)}$$

$$z_0=\sqrt{i}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=i^\frac{3}{2}\\ z_1=\sqrt{i}\left(\cos(\frac{\pi}{2}+1)+i(\sin\frac{\pi}{2}+1)\right)=-i^\frac{3}{2}$$

Me di cuenta de que esto es literalmente lo mismo que resolver $z=\sqrt{-i}=i\sqrt{i}=i^\frac{3}{2}$ Sin embargo, esperaba encontrar una solución de la forma $x+iy$ . No estoy seguro de cómo abordar este problema de una manera diferente.

Answer 1

Aquí hay otra solución por curiosidad.

Dejemos que $z = x + yi$ , donde $x,y \in \mathbb{R}$ . Entonces tenemos la siguiente ecuación:

\begin{align*} z^{2} + i = 0 & \Longleftrightarrow (x+yi)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2xyi = -i\\\\ & \Longleftrightarrow \begin{cases} x^{2} - y^{2} = 0\\\\ 2xy = -1 \end{cases} \\\\ & \N - Flecha larga izquierda-derecha \begin{cases} x = -y\\\\ 2y^{2} = 1\\ \end{cases} \\\\ & \N - Flecha larga izquierda-derecha \begin{cases} x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ y = +\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} ; \begin{cases} x = +\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ y = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \end{align*}

Espero que esto ayude.

Answer 2

Esta es la solución para $z^2 = i$ . Dar $z^2 + i = 0$ un intento después de ver esto.

Tienes la idea correcta al usar $ z = re^{i\theta} $ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que podemos elegir $r = 1$ porque $|re^{i\theta}| = |r|$ y $|i| = 1$ . Entonces, sustitúyelo:

$$ z^2 = i$$ $$ (e^{i\theta})^2 = i $$ $$ e^{i(2\theta)} = i $$ $$ \cos(2\theta) + i\sin(2\theta) = i . $$

Comparando las partes reales de los lados izquierdo y derecho, tenemos

$$ \cos(2\theta) = 0 $$ $$ \Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2} + \pi k $$ $$ \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k $$

Comparando ahora las partes imaginarias, tenemos

$$ \sin(2\theta) = 1 $$ $$ \Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $$ $$ \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} + \pi k $$

Las dos soluciones tienen una intersección de $ \theta = \frac{\pi}{4} + \pi k $ . En una rotación de $\theta = 0$ a $\theta = 2\pi$ , lo que nos da dos soluciones únicas:

$$ \theta = \frac{\pi}{4} \ \text{or} \ \theta = \frac{5\pi}{4} .$$

Sustituyendo esto en $z = e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) $ , obtenemos las soluciones que señalas:

$$ \theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow z = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i , $$ $$ \theta = \frac{5\pi}{4} \Rightarrow z = -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i . $$

Ahora, para $z^2 = -i$ la solución debe ser una rotación de $\frac{\pi}{2}$ de la solución que tenemos aquí, es decir, debería llegar a $\theta = \frac{3\pi}{4} \ \text{or} \ \frac{7\pi}{4}$ .

Answer 3

Esperaba encontrar una solución similar para z=-i--√ pero mi intento me da z=±i32

No veo por qué.

$z = x+yi$ y $z^2 = (x^2 -y^2) + 2xyi = -i$ así que $x^2-y^2 = 1$ y $2xy = -1$ así que $x^2 =y^2$ y $x = \pm |y|$ pero $2xy =-1$ es negativo os $x = -y$ y así $2xy=-1\implies -2y^2 = 1\implies y =\pm \frac 1{\sqrt 2}$ y $x = \mp \frac 1{\sqrt 2}$ . y $z = \pm \frac 1{\sqrt 2} \mp \frac 1{\sqrt 2} i$ .

Lo cual no debería sorpresa nosotros como si $(\pm \frac 1{\sqrt 2} \pm \frac 1{\sqrt 2} i)^2 = i$ entonces $i(\pm \frac 1{\sqrt 2} \pm \frac 1{\sqrt 2} i) = \pm \frac 1{\sqrt 2}i \mp \frac 1{\sqrt 2} =\mp \frac 1{\sqrt 2} \pm \frac 1{\sqrt 2}$ al cuadrado debe ser $i^2*i = -i$ .

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Uso de coordenadas polares $-i = 0 + (-1)i = \cos \frac {3\pi}2 +\sin(\frac {3\pi}2)i = e^{(\frac {3\pi}2 + 2k\pi)i}$ y así las raíces cuadradas de $-i$ son

$e^{(\frac {3\pi}4 + k\pi)i} = \cos(\begin{cases}\frac {3\pi}4\\\frac {7\pi}4\end{cases})+\sin(\cos(\begin{cases}\frac {3\pi}4\\\frac {7\pi}4\end{cases}))i =\pm \frac 1{\sqrt 2} \mp \frac 1{\sqrt 2}i$