Formas diferenciales y funciones homogéneas

Question

La pregunta es: Sea g: $\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ homogénea de grado k, es decir $g(tx,ty,tz) = t^{k}g(x,y,z), t>0$ y $(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}$ . a) Demuestre que $xg_{x} + yg_{y} + zg_{z} = kg$ (La relación de Euler). Esta parte está bien ! pero: b) Sea $ w = adx + bdy + cdz $ donde a, b y c son homogéneas de grado k y $dw = 0$ . Demostrar que $w = df$ donde $$ f = \frac{xa + yb + zc}{k+1}$$ La pista es: observe que $dw=0$ implica $ b_{x} = a_{y} , c_{x} = a_{z} , b_{z} = c_{y}$ (Derivaciones parciales) y aplicar la relación de Euler. Bueno, he intentado hacer lo siguiente: $$ df = \frac{1}{k+1} d(xa + yb + zc) = $$ (omitiendo el denominador) $d(xa) + d(yb) + d(zc),$ y $d(xa) = \sum \frac{\partial xa}{\partial x_{i}}dx_{i} = adx + a_{xx}dx + a_{xy}dy + a_{xz}dz$

$d(yb) = \sum \frac{\partial yb}{\partial x_{i}}= bdy + b_{yx}dx + b_{yy}dy + b_{yz}dz$

$d(zc) = cdz + c_{zx}dx + c_{zy}dy + c_{zz}dz$

¿Está bien? Ahora, ¿cómo puedo utilizar la pista?
¡Gracias!

Answer 1

Escriba $\omega = \sum a^i dx_i$ donde el $a^i$ son homogéneos, y dejemos que $F =\sum x_i a^i$ . Entonces $$dF = \sum dx_i a^i +\sum x_ida^i = \omega +\sum x_ida^i,$$ por lo que debemos comprobar que la suma $\sum x_ida^i$ es igual a $k\omega$ bajo la hipótesis de que $d\omega=0$ . Con la sugerente notación $x\cdot da = k\omega$ , se trata de una generalización de la fórmula de Euler para las formas cerradas que son homogéneas.

Ahora, mediante un uso de la fórmula de Euler para la $a^i$ vemos que $$k\omega = \sum ka^i dx_i = \sum \frac{\partial a^i}{\partial x_j} x_j dx_i,$$

para que

\begin{align*} \sum x_ida^i - k\omega &=\sum x_i \frac{\partial a^i}{\partial x_j}dx_j - \sum \frac{\partial a^i}{\partial x_j} x_j dx_i \\ &=\sum \left( \frac{\partial a^i}{\partial x_j}-\frac{\partial a^j}{\partial x_i}\right)x_i dx_j \end{align*}

Por último, la hipótesis de que $d\omega=0$ significa que la siguiente suma es cero

$$\sum \frac{\partial a^i}{\partial x_j} dx_i\wedge dx_j$$ y esto es exactamente la afirmación de que, para cada $i<j$ tenemos $$\frac{\partial a^i}{\partial x_j}=\frac{\partial a^j}{\partial x_i}.$$