Encontrar dónde es diferenciable una función

Question

Estoy trabajando en una pregunta que se refiere a cuándo la función $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: (x,y) \mapsto x \exp(|y|)$ es diferenciable, y donde es diferenciable.

Puedo ver fácilmente que no es diferenciable en los puntos $(a,0)$ donde $a\neq0$ como sería la función sería de la forma $a\exp(|0|)$ y $\exp(|0|)$ no es diferenciable según: Es $e^{|x|}$ ¿Diferenciable? .

Mi problema viene con el punto $(0,0)$ . ¿Puede alguien ayudarme a demostrar que es diferenciable o no en este punto?

Answer 1

Puedes usar la definición... Para que $f$ sea diferenciable en $(0,0)$ debes tener $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)-f'_x(0,0) x - f'_y(0,0) y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.$$

Desde entonces, $f(0,0)=0$ , $f'_x(0,0) = 1$ y $f'_y(0,0)=0$ Sólo tiene que comprobar si $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-x}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.$$

El límite anterior es el hecho 0, porque

$$\left| \frac{f(x,y)-x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|=\left|\frac{x(e^{|y|}-1)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\leq e^{|y|}-1 \to 0 , \quad (x,y \to 0)$$

y por eso concluye que $f$ es diferenciable en $(0,0)$ .