¿Qué tiene de especial $\mathbb N$ ?

Question

A través de la recursividad, la inversión, la extensión y todo tipo de travesuras sencillas, la función sucesora conduce a definiciones de $+, \cdot, /, x^k, \exp, \sin, \partial, \int$ y otras funciones especiales. Parece que tiene una utilidad extraordinaria. En particular, este conjunto de funciones permite una descripción concisa de la física.

Pregunto, ¿es esto simplemente el resultado de las direcciones que tomaron las matemáticas en nuestra historia, o hay realmente algo profundo en $+$ ? Es $\mathbb N$ ¿está codificada en algún lugar de los axiomas de ZF, o en la lógica utilizada para describirlos? Entre las incontables otras funciones, ¿podría haber otra que no sea una forma derivada trivialmente $+$ ¿pero podría igualar su utilidad?

Answer 1

¿En qué sentido se define la multiplicación en términos de adición? Observa, por ejemplo, que la multiplicación no puede se definen en la teoría de la adición de primer orden.

Sólo obtenemos tal definición de la multiplicación a partir de la adición si vamos al segundo orden. Pero entonces, si vamos a segundo orden, la suma también es definible, en términos de sucesión.

Ahora bien, se podría preguntar en el mismo espíritu que el OP: ¿por qué la función sucesora tiene una "utilidad tan extraña" entre todas las funciones numéricas, que tantas funciones (adición, multiplicación, exponenciación, superexponenciación, factorial, etc. etc.) se pueden definir en términos de ella, en un marco de segundo orden?

Pero hay algo muy impar en esa pregunta, como si primero pudiéramos comprender lo que implica hablar de los números naturales, y luego preguntarnos "¿por qué es especial el sucesor?". Eso no tiene sentido. Para captar una estructura como una estructura de números naturales sólo es para captarlo como estructurado al generarse una función sucesora a partir de un número inicial (hay un cero, un número siguiente único, un número siguiente único, etc., sin repeticiones). El papel único de la función sucesora junto con el papel único del número inicial es lo que hace que los números naturales sean los números naturales (hasta el isomorfismo).

Answer 2

$\mathbb{N}$ es "codificado" en la lógica: las expresiones lógicas son cadenas de símbolos, y las cadenas tienen longitudes .

Las teorías de la aritmética Peano y del procesamiento de cadenas son esencialmente las mismas: con el procesamiento de cadenas, puedes hacer aritmética con tablas de búsqueda y empujando símbolos. Con la aritmética Peano, puedes codificar cadenas como dígitos de números.

Un ejemplo de cómo esto entra en escena puede verse con la recursividad. Si tienes un elemento $a$ de algún conjunto, y una función $f$ en ese conjunto, entonces se puede hablar de aplicar repetidamente $f$ a $a$ . Todas las expresiones que se pueden obtener se parecen a $a, fa, ffa, fffa, \ldots$ .

Los términos individuales pueden ser etiquetados con números naturales, contando cuántos $f$ en la expresión aritmética.