Hallar el pdf de la variable aleatoria a trozos que implica funciones de identidad

Question

$X$ es una variable aleatoria normal estándar.

$Y = g(X)$ , donde $g(x)=-I_{(-\infty,0)}(x) + \frac12I_{\{0\}}(x)+I_{(0,\infty)}(x)$ .

Estoy tratando de encontrar el pdf para $Y$ . Sé que para empezar $F_Y(y)=P(Y\leq y)$ pero no sé a dónde ir con la función a trozos, especialmente cuando es sólo la función de identidad.

Answer 1

Como $X$ es continua r.v., entonces la probabilidad de obtener $x=0$ es $0$ Por lo tanto $Y$ sólo puede recibir dos valores: o bien $-1$ o $1$ Por lo tanto $$ P_Y(y) = P(Y=y)=\frac{1}{2}, \quad y\in\{-1,1\}. $$ Mientras que $1/2$ se debe al hecho de que $P(X\le 0) = \Phi(0)=1/2$ .