Agradecería que me ayudaran a entender cómo:
$$\log \left(\frac{1}{s - 1} - O(1)\right) = \log \left(\frac{1}{s - 1}\right) + O(1)\text{ as }s \rightarrow 1^+$$
Pensé en una serie de Taylor para $\log(x - 1)$ pero eso tendría un $O(x^2)$ plazo.
También agradecería cualquier recomendación de referencias o tutoriales para entender bien el big- $O$ notación en general.
Muchas gracias.
$f(s)=O(1)$ como $s\rightarrow1^+$ significa que hay una constante $C$ tal que $|f(s)|<C$ para $s$ cerca de $1^+$ .
Una cosa que siempre hay que tener en cuenta es que las igualdades entre cosas con $O$ 's o $o$ no son realmente igualdades simétricas. Esto significa que probablemente es seguro probar esto "en ambas direcciones".
El lado izquierdo habla de una función $f(s)$ tal que existe una constante $C$ tal que $|e^{f(s)}-\frac{1}{s-1}|<C$ para $s$ cerca de $1^+$ .
El lado derecho habla de una función $g(s)$ tal que existe una constante $D$ tal que $|g(s)-\log(\frac{1}{s-1})|<D$ .
Comprobemos que la función de la izquierda $f$ satisface la descripción de la derecha. Según su descripción, podemos escribir $f(s)$ como $\log(\frac{1}{s-1}+h(s))$ , donde $h$ está acotado como $s\rightarrow 1^+$ . Restamos $\log(\frac{1}{s-1})$ y obtener $\log(1+(s-1)h(s))$ . Desde $h$ está acotado y $(s-1)\rightarrow 0$ entonces esta sustracción está acotada. Esta era la descripción de la derecha.
Ahora, hacemos la otra dirección. Comprobemos que $g$ cumple con la descripción de la izquierda. Por lo que sabemos de $g$ podemos escribirlo como $\log(\frac{1}{s-1})+a(s)$ con $a$ limitado. Ahora calculamos $e^{\log(1/(s-1))+a(s)}-\frac{1}{s-1}=\frac{e^{a(s)}}{(s-1)}-\frac{1}{(s-1)}=\frac{e^{a(s)}-1}{(s-1)}$ ... oops.
Supongo que por eso no se trata realmente de una igualdad simétrica.
Por lo tanto, leyendo de izquierda a derecha la igualdad es verdadera. Leyendo de derecha a izquierda, no lo es.
$$\begin{align}\log\left(\frac{1}{s-1}+\mathcal O(1)\right)&=\log\left(\frac{1}{s-1}\left(1+\mathcal O(s-1)\right)\right)=\log\left(\frac{1}{s-1}\right)+\log\left(1+\mathcal O(s-1)\right)\\ \notag &=\log\left(\frac{1}{s-1}\right)+\mathcal O(s-1) \\ \notag &=\log\left(\frac{1}{s-1}\right)+\mathcal O(1)\end{align}$$
la tercera igualdad que se mantiene desde $$\log(1+x)=\mathcal O(x),\quad x\to0.$$
Algunas notas relevantes aquí ( http://www.ma.hw.ac.uk/~simonm/ae.pdf ).
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