Prueba del teorema de Cayley Hamilton

Question

El último paso de la demostración del teorema de Cayley-Hamilton en la clase de hoy no tiene sentido para mí. No hay problemas hasta el punto en que mostramos que el polinomio característico que intentamos demostrar es la función cero es igual a q(T)*p(T) donde p(T) es la función cero.

Nuestro profesor termina la demostración con los siguientes pasos: q(T)*p(T)(v)= q(T) realizado sobre p(T)(v) que es igual a cero para cualquier v ya que p(T)(v) es cero y q(T) siendo una función lineal mapea cero a cero. Lo que no entiendo es el paso q(T)*p(T)(v)= q(T) realizado sobre p(T)(v). ¿No sería correcto terminar la prueba diciendo q(T)*p(T)(v)= q(T)(v)*p(T)(v)=q(T)(v)*0=0?

Answer 1

En su última frase, $q(T)* p(T)(v) = q(T)(v) * p(T)(v)$ en realidad no tiene sentido. $q(T)$ y $p(T)$ son operadores lineales, por lo que $q(T)(v)$ y $p(T)(v)$ son vectores, para los que la multiplicación no tiene sentido.

Llamemos a $q(T)$ y $p(T)$ por $Q$ y $P$ .

Lo que tu profesor está diciendo es que $QP(v) = Q(Pv)$ . En general, ésta es la propiedad que define una acción algebraica sobre un conjunto. No importa si se multiplica $Q$ y $P$ en el espacio del operador y luego actuar sobre $v$ o si actúa sobre $v$ por $P$ y luego actuar sobre el resultado de la misma mediante $Q$ : ¡se obtiene lo mismo de cualquier manera!

Entonces, como has dicho, $Pv$ es $0$ desde, $P$ es el $0$ y así $Q(Pv) = 0$ ya que los operadores lineales mapean $0$ a $0$ .