Problemas para entender la solución a $\cos(\arcsin(\frac{24}{25}))$

Question

Tengo problemas para entender cómo la clave de respuestas de mi documento de Precálculo y Trigonometría llegó a la respuesta que obtuvo de esta tarea/pregunta:

Encuentra el valor exacto de la expresión $$\cos(\arcsin(\frac{24}{25}))$$

Al principio, intenté encontrar el valor de $\arcsin(\frac{24}{25})$ y luego encontrar el coseno de ese valor, pero parecía demasiado difícil de hacer sin una calculadora. Eché un vistazo a la clave de respuestas y vi esto:

Dejemos que $y=\arcsin(cos(\frac{24}{25})$ Entonces, $\sin(y)= \frac {24}{25}$ y $\cos(y)= \frac{7}{25}$

No entiendo cómo han llegado a esta respuesta ni el camino para llegar a ella. ¿Podría alguien guiarme en la dirección correcta o mostrarme cómo el documento llegó a esta respuesta?

Answer 1

Dejemos que $\arcsin \frac{24}{25}=\alpha$ .

Encuentre $\cos \alpha$ .

Si $\arcsin \frac{24}{25}=\alpha$ que $$\sin \left(\arcsin \frac{24}{25}\right)=\sin \alpha$$ $$\sin \alpha=\frac{24}{25}$$ Entonces $$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{24^2}{25^2}}=\frac{7}{25}$$

Respuesta: $\cos (\arcsin \frac{24}{25})=\frac{7}{25}$

Answer 2

El definición de $\sin y$ es que es la longitud del lado opuesto al ángulo ( $24$ en la imagen) dividido por la longitud de la hipotenusa ( $25$ en la imagen).

Así que lo que hay que hacer es dibujar un triángulo rectángulo con un lado $24$ , hipotenusa $25$ y calcula la longitud del lado restante. El cuadrado de esa longitud será $25^2-24^2$ que es $49$ que es $7^2$ . Así que el lado restante es $7$ .

La definición de $\cos y$ es que es ese lado corto dividido por la hipotenusa - así, $\frac{7}{25}$ .

Answer 3

Vamos a desglosarlo así.

Recuerde $\sin$ y $\arcsin$ son operaciones inversas. Así que si tomamos el $\sin$ de algún ángulo en un triángulo rectángulo, y nuestra respuesta es 24/25, entonces eso significa que el lado opuesto de ese ángulo es 24, y la hipotenusa es 25. Y hacemos la inversa con $\arcsin$ . Si lo hacemos $\arcsin(24/25)$ la respuesta será el tamaño de un ángulo en un triángulo rectángulo cuyo lado opuesto es 24, y cuya hipotenusa es 25.

En resumen, $\sin$ toma el ángulo y da el opp/hyp, y $\arcsin$ toma opp/hyp, y da ángulo.

Así que $\arcsin(24/25)$ te da el ángulo. Ahora tomando el $\cos$ de ese ángulo significa que tenemos que encontrar la relación adj/hyp. Ya sabemos que la hipotenusa es 25, así que sólo tenemos que completar la parte adj.

Como conocemos el lado opuesto y la hipotenusa, sólo tenemos que utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar el lado adyacente.

$$25^2 = 24^2 + \text{adj}^2$$ $$\text{adj} = 7$$ Y así el $\cos$ del ángulo dado por $\arcsin(24/25)$ es el 25 de julio.

Answer 4

La definición básica de "seno" es "lado opuesto dividido por la hipotenusa" por lo que han dibujado un triángulo rectángulo con ángulo (llámalo $\theta$ ) a la izquierda, hipotenusa de longitud 25 y "lado opuesto" (la línea vertical de la derecha) de longitud 24. Así que $\sin(\theta)= \frac{24}{25}$ y $\theta= \arcsin\left(\frac{24}{25}\right)$ .

Por el teorema de Pitágoras, entonces, $x^2+ 24^2= x^2+ 576= 25^2= 625$ donde "x" es la longitud del "lado cercano", la línea horizontal en la parte inferior de la imagen. Así que $x^2= 625- 576= 49$ . Como la longitud de un lado debe ser positiva, la longitud del "lado cercano" es $\sqrt{49}= 7$ como se muestra en la imagen.

"coseno" se define como "lado cercano sobre la hipotenusa" tenemos $cos\left(sin\left(\frac{24}{25}\right)\right)= cos(\theta)= \frac{7}{25}$ .

Un método más "trigonométrico" para obtener ese resultado es utilizar el hecho de que $sin^2(\theta)+ cos^2(\theta)= 1$ . Configuración $\theta= arcsin\left(\frac{24}{25}\right)$ tenemos $sin(\theta)= \frac{24}{25}$ y $sin^2(\theta)+ cos^2(\theta)= \left(\frac{24}{25}\right)^2+ cos^2(\theta)= 1$ así que $cos^2(\theta)= 1- \frac{576}{625}= \frac{625- 576}{625}= \frac{49}{625}$ y luego $cos(\theta)= \sqrt{\frac{49}{625}}= \frac{7}{25}$ .