Supongamos que tomamos un subconjunto de 501 elementos $S$ de los primeros 999 enteros positivos. Demuestre que existe $a_x \not= a_y, a_z \in S$ tal que $a_x+a_y=a_z$ .
Los 501 elementos parecen bastante cercanos a 1000/2, por lo que parece ser una aplicación del principio de encasillamiento con 500 "grupos". Alguna pista sobre cómo dividir $S$ en grupos?
Esta respuesta supone $a_x = a_y$ está permitido (es decir, la redacción original del PO).
HINT
Dejemos que $m$ sea el elemento máximo en $S$ . Entonces hay $500$ números seleccionados entre $A = \{1, 2, \dots, m-1\}$ .
Ahora partición $A$ correctamente y aplicar el principio de encasillamiento.
Si $m<1000$ se puede hacer de inmediato con la partición correcta. Para $m=1000$ necesita un poco más de trabajo, pero no mucho.
PISTA #2 (actualización 25/9/2019)
Considere $m=999$ , por lo que hay $500$ números seleccionados de $A = \{1, \dots, 998\}$ . Es necesario hacer una partición $A$ en $499$ subconjuntos, cada uno de ellos de tamaño $2$ . Entonces, el encasillamiento diría que hay un subconjunto en el que se seleccionan ambos números. Si se hace la partición correctamente, se puede encontrar inmediatamente $a_x, a_y, a_z$ s.t. $a_x + a_y = a_z$ .
¿Puedes terminar desde aquí, o necesitas más pistas?
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