Cómo resolver para $x$ y $y$ dadas estas dos funciones multivariables?

Question

Estoy tratando de encontrar los puntos críticos de esta función $(x-y)(16-xy)$

He encontrado que las derivadas parciales son $f_x = 16-2xy+y^2 = 0$ y $f_y=-x^2-16+2xy = 0$ . Sin embargo, he intentado todo pero no puedo resolver por $x$ y $y$ con estas dos ecuaciones. ¿Cómo se resuelve para $x$ y $y$ ?

Answer 1

Nota $$2xy-y^2=16=2xy-x^2$$ lo que lleva a $x^2=y^2$ o $x=\pm y$ .

Answer 2

Si resuelve $f_x = 0$ para, por ejemplo, x se obtiene $x = \frac{16 + y^2}{2 y}$ . Inserte esto en $f_y$ se llega a: $-8 - \frac{64}{y^2} + \frac{3 y^2}{4} = 0$ Esto se puede resolver, por ejemplo, multiplicando con $y^2$ sustituyendo $y^2$ entonces y obtener dos soluciones reales: $y_1 = -4$ , $y_2 = 4$ . Insertando esto de nuevo en su $f_x$ se obtiene la solución correspondiente $x$ soluciones. Suponiendo que sólo busque soluciones reales.