definiciones equivalentes de integrabilidad

Question

¿Es equivalente lo siguiente?

1) Una función $f\colon\mathbb{R}^n\to (-\infty,\infty]$ es integrable por Lebesgue si existe una secuencia de funciones escalonadas $(g_n)_n$ tal que $\|f-g_n\|_1\to\infty$ .

2) $\|f\|_1<\infty$ ?

De la 1 a la 2 me lo puedo explicar con eso $(\int |g_n| dx)_n$ es una secuencia de Cauchy que converge a $\int |f| dx$ . Sin embargo, ¿cómo funciona 2=>1?

Answer 1

Utilice la construcción estándar de funciones simples que convergen a $f$ : $g_n(x)=\frac {i-1} n$ si $ \frac {i-1} n \leq f(x) < \frac i n$ y $|i| \leq n^{2}$ , $0$ si $|i| > n^{2}$ . Entonces $\int |g_n-f| \to 0$ y cada $g_n$ es simple.