Definir $f(x)=\sqrt{1+x}$ para todos $x\in(1,\infty).$ Demuestre que la serie de Taylor converge a $f$ para todos $x\in(0,1)$ .

Question

Definir $$f(x)=\sqrt{1+x}$$ para todos $$x\in(1,\infty).$$

Demuestre que la serie de Taylor converge a $f$ para todos $x\in(0,1)$ .

No tengo ni idea de cómo probar esto. ¿Puede alguien ayudarme, por favor? Gracias de antemano.

Answer 1

Reconociendo que $n$ coeficiente en la serie de Taylor de $\sqrt{x+1}$ (un binomio con potencia $\frac{1}{2}$ ) viene dada por $a_n=\frac{\prod_{n=0}^{\infty}{(\frac{1}{2}-n)}}{n!}$ . Se puede utilizar la prueba de razón para encontrar que la serie debe converger absolutamente para $|x|<1$ porque $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1$ para $|x|<1$

Entonces la convergencia para $|x|<1$ implica que la serie también es convergente para $x\in(0,1)$