Cálculo del discriminante para la siguiente cuadrática:

Question

Considere $$ p_{k+1} \zeta_{k+1}^2 + q_{k+1}\zeta_{k+1} + r_{k+1} = 0 $$

donde

$$p_{k+1} = p_0P_k^2 + q_0P_kQ_k + r_0Q_k^2$$ $$q_{k+1} = 2p_0P_kP_{k-1} + q_0 ( P_kQ_{k-1} + Q_kP_{k-1} ) + 2r_0Q_kQ_{k-1}$$ $$r_{k+1} = p_0P_{k-1}^2 + q_0 P_{k-1}Q_{k-1} + r_0Q_{k-1}^2 = p_k $$

Dado que $p_k \neq 0$ para cualquier $k$

Ahora el discriminante de esta ecuación resulta ser: $$\Delta = (q_0^2 - 4p_0r_0 )( P_kQ_{k-1} - P_{k-1}Q_k)^2 $$

Específicamente, $$C_k = \frac{ P_k } { Q_k } $$ denotan el $k-th$ convergente de una fracción continua simple, por lo que la identidad $$P_kQ_{k-1}+Q_kP_{k-1} = \pm 1 $$ puede ser útil para nuestro cálculo.

Me he dado cuenta de que el primer término entre corchetes de $\Delta$ fue simplemente cuando $k=-1$ Entonces, ¿hay alguna forma fácil de lograr esa expresión sin un álgebra intensa?

Saludos cordiales,

Answer 1

Veamos, para ti, $\alpha = P_k,\gamma = Q_k, $ $\beta = P_{k-1},\delta = Q_{k-1}, $ $$ p = \left( \begin{array}{cc} P_k & P_{k-1} \\ Q_k & Q_{k-1} \end{array} \right) $$

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Tenemos una forma binaria $\langle A,B,C \rangle$ significa $f(x,y) = A x^2 + B xy + C y^2.$ Creamos la matriz hessiana $$ h = \left( \begin{array}{cc} 2A & B \\ B & 2 C \end{array} \right) $$ con discriminante $$ \Delta = B^2 - 4 AC. $$ Para volver al triple de coeficientes, reducimos las entradas diagonales a la mitad, pero mantenemos una de las entradas fuera de la diagonal tal cual, para $B.$

Dada una matriz
$$ p = \left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right) $$ calculamos la matriz simétrica $p^T h p$ para dar una nueva, $$ \langle A \alpha^2 + B \alpha \gamma + C \gamma^2, 2A \alpha \beta + B(\alpha \delta + \beta \gamma) + 2 C \gamma \delta, A \beta^2 + B \beta \delta + C \delta^2 \rangle $$ Obsérvese que, sobre el discriminante $\Delta,$ tenemos automáticamente que el nuevo discriminante es $\Delta \det^2 p.$

Dado $$ Q = \left( \begin{array}{ccc} \alpha^2 & 2 \alpha \beta & \beta^2 \\ \alpha \gamma & \alpha \delta + \beta \gamma & \beta \delta \\ \gamma^2 & 2 \gamma \delta & \delta^2 \end{array} \right), $$ hay un error tipográfico en la página 23 de Magnus, en realidad $\det Q = (\alpha \delta - \beta \gamma)^3.$

Si ahora escribimos el triple $(A,B,C)$ como un vector de filas, encontramos $$ (A,B,C) \left( \begin{array}{ccc} \alpha^2 & 2 \alpha \beta & \beta^2 \\ \alpha \gamma & \alpha \delta + \beta \gamma & \beta \delta \\ \gamma^2 & 2 \gamma \delta & \delta^2 \end{array} \right) = $$ $$ ( A \alpha^2 + B \alpha \gamma + C \gamma^2, 2A \alpha \beta + B(\alpha \delta + \beta \gamma) + 2 C \gamma \delta, A \beta^2 + B \beta \delta + C \delta^2) $$ Compare nuestro anterior $ p^T h p =$ $$ \langle A \alpha^2 + B \alpha \gamma + C \gamma^2, 2A \alpha \beta + B(\alpha \delta + \beta \gamma) + 2 C \gamma \delta, A \beta^2 + B \beta \delta + C \delta^2 \rangle $$