La mayor parte de la teoría de grupos que se enseña en las clases introductorias de posgrado es de la forma $$(\mbox{number theory} + \mbox{ group actions} + \mbox{ orbit-stabilizer thm}) + \mbox{group axioms} \Rightarrow \mbox{theorems}$$ Entonces, ¿cuál es el equivalente a " (teoría de números + acciones de grupo + thm estabilizador de órbita) " en las partes más avanzadas de la teoría de grupos?
Aclaración basada en algunos comentarios : Las técnicas que aprendí en una clase de teoría de grupos de posgrado eran simplemente el thm del estabilizador de la órbita + algo de teoría de números + el thm de Lagrange. Añadiendo algunas construcciones más, como los productos semidirectos, se pueden hacer algunas incursiones en algunas partes menos elementales de la teoría de grupos, por ejemplo, obtenemos algunos teoremas de clasificación para grupos de orden pequeño con la ayuda de los teoremas de Sylow, que en realidad es sólo teoría de números inteligente + teorema del estabilizador de la órbita. Así que me gustaría ampliar un poco mi caja de herramientas viendo qué otras herramientas se utilizan en la teoría de grupos más avanzada pero que siguen siendo aplicables a las partes elementales de la teoría de grupos como la clasificación de grupos de orden pequeño.
Datos recogidos de los comentarios : Kevin McGerty hace algunos puntos excelentes sobre la extensión de la teoría de acciones sobre conjuntos que permiten argumentos de teoría de números a acciones sobre espacios vectoriales que aumentan la sofisticación y profundidad de la teoría. El paso de meros conjuntos a espacios vectoriales permite el uso del álgebra lineal como otra herramienta que, a su vez, permite que entren en juego algunas herramientas del álgebra homológica.
