teoría de grupos menos elemental

Question

La mayor parte de la teoría de grupos que se enseña en las clases introductorias de posgrado es de la forma $$(\mbox{number theory} + \mbox{ group actions} + \mbox{ orbit-stabilizer thm}) + \mbox{group axioms} \Rightarrow \mbox{theorems}$$ Entonces, ¿cuál es el equivalente a " (teoría de números + acciones de grupo + thm estabilizador de órbita) " en las partes más avanzadas de la teoría de grupos?

Aclaración basada en algunos comentarios : Las técnicas que aprendí en una clase de teoría de grupos de posgrado eran simplemente el thm del estabilizador de la órbita + algo de teoría de números + el thm de Lagrange. Añadiendo algunas construcciones más, como los productos semidirectos, se pueden hacer algunas incursiones en algunas partes menos elementales de la teoría de grupos, por ejemplo, obtenemos algunos teoremas de clasificación para grupos de orden pequeño con la ayuda de los teoremas de Sylow, que en realidad es sólo teoría de números inteligente + teorema del estabilizador de la órbita. Así que me gustaría ampliar un poco mi caja de herramientas viendo qué otras herramientas se utilizan en la teoría de grupos más avanzada pero que siguen siendo aplicables a las partes elementales de la teoría de grupos como la clasificación de grupos de orden pequeño.

Datos recogidos de los comentarios : Kevin McGerty hace algunos puntos excelentes sobre la extensión de la teoría de acciones sobre conjuntos que permiten argumentos de teoría de números a acciones sobre espacios vectoriales que aumentan la sofisticación y profundidad de la teoría. El paso de meros conjuntos a espacios vectoriales permite el uso del álgebra lineal como otra herramienta que, a su vez, permite que entren en juego algunas herramientas del álgebra homológica.

Answer 1

Como alguien que ha pasado demasiado tiempo pensando en clasificar grupos de orden pequeño, una cosa que querría hacer es entender algunos resultados más sobre los grupos p. Probablemente ya hayas aprendido uno de los principales resultados, todo grupo-p tiene un centro no trivial, que se demuestra con los argumentos del tipo de teoría de números que has discutido. Una de las ideas clave para entender los grupos-p es el teorema de la base de Burnside que dice que cualquier conjunto generador de $G/\Phi(G)$ es un conjunto generador para G. Aquí $\Phi(G)$ es el subgrupo de Frattini que está generado por todos los conmutadores y todas las potencias pth. Puedes pensar en esto como una versión del lema de Nakayma para los grupos p y pensar que los grupos p son similares a los anillos conmutativos.

Answer 2

Otro movimiento que puedes hacer es estudiar las acciones de tu grupo en espacios topológicos o métricos. Este es más o menos el punto de partida de teoría geométrica de grupos . Quizá sea menos relevante para el estudio de los grupos finitos, pero es fundamental para el estudio moderno de los grupos discretos infinitos.

Answer 3

Esta es una pregunta muy vaga (que roza el mal uso del sitio, ya que no creo que realmente tenga una respuesta), pero al menos parte de la respuesta es la teoría de la representación lineal, que tiene un poco más de profundidad que sólo las acciones de grupo. No sólo es un tema interesante en sí mismo, sino que también es absolutamente esencial para muchos de los teoremas más apasionantes de la teoría de grupos, como todo el edificio en torno a la clasificación de los grupos simples finitos.

Si quieres saber más, te recomiendo el libro de Serre sobre el tema.

Answer 4

Primero voy a volver a recomendar el Curso de Teoría de Grupos de Robinson. Hay muchas ramas interesantes de la teoría de grupos, como la teoría geométrica de grupos, que se relacionan con otros temas, pero probablemente deberías asegurarte primero de que conoces la teoría de grupos propiamente dicha. Y la única forma real de saber qué temas son importantes es conseguir un libro.

Answer 5

Un gran libro para recoger sobre la teoría de grupos finitos es "Finite Group Theory" de Isaacs. Hace un ton más de lo que probablemente se vería en una clase estándar de álgebra de posgrado. El único inconveniente es que no hace teoría de caracteres. Pero, por supuesto, Isaacs también escribió un libro llamado "Character Theory of Finite Groups". Si vas a comprar los dos libros, también puedes comprar la trinidad y su "Álgebra".

Steve