Mi prueba de: $|x - y| < \varepsilon \Leftrightarrow y - \varepsilon < x < y + \varepsilon$

Question

¿Es razonable demostrar el siguiente teorema (trivial)? En caso afirmativo, ¿hay una forma mejor de hacerlo?

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Dejemos que $x, y \in \mathbb{R}$ . Dejemos que $\varepsilon \in \mathbb{R}$ con $\varepsilon > 0$ .

$\textbf{Theorem.}$ Tenemos \begin{equation*} \left| x - y \right| < \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad y - \varepsilon < x < y + \varepsilon. \end{equation*} $\Large \textit{Proof.}$

$\large \textit{Subproof } \Rightarrow .$

$\textbf{Case: } 0 \le x - y . \quad$ Dado que ambos $0 \le x - y$ y $\left| x - y \right| < \varepsilon$ tenemos $x - y < \varepsilon$ . Es decir, $x < y + \varepsilon$ . El resto del caso demuestra $y - \varepsilon < x$ . Tenemos $0 \le x - y$ . Es decir, $y \le x$ . Por lo tanto, ya que $0 < \varepsilon$ , tenemos $0 + y < \varepsilon + x$ . Es decir, $y - \varepsilon < x$ .

$\textbf{Case: } 0 > x - y . \quad$ Dado que ambos $0 > x - y$ y $\left| x - y \right| < \varepsilon$ tenemos $y - x < \varepsilon$ . Es decir, $y - \varepsilon < x$ . El resto del caso demuestra $x < y + \varepsilon$ . Tenemos $0 > x - y$ . Es decir, $x < y$ . Por lo tanto, ya que $0 < \varepsilon$ , tenemos $0 + x < \varepsilon + y$ . Es decir, $x < y + \varepsilon$ .

$\large \textit{Subproof } \Leftarrow .$

$\textbf{Case: } 0 \le x - y . \quad$ Tenemos $x < y + \varepsilon$ . Es decir, $x - y < \varepsilon$ . Además, como $0 \le x - y$ tenemos $x - y = |x - y|$ . Así, $|x - y| < \varepsilon$ .

$\textbf{Case: } 0 > x - y . \quad$ Tenemos $y - \varepsilon < x$ . Es decir, $y - x < \varepsilon$ . Además, como $0 > x - y$ tenemos $y - x = |x - y|$ . Así, $|x - y| < \varepsilon$ .

QED

Answer 1

Esto es correcto. Una forma más clara de decirlo sería señalar que $$ \begin{align} \mid x-y \mid < \epsilon &\iff x-y \lt \epsilon \text{ and } y-x \lt \epsilon\\ &\iff x-y \lt \epsilon \text{ and } x-y \gt -\epsilon\\ &\iff-\epsilon \lt x-y \lt \epsilon \\ &\iff y-\epsilon \lt x \lt y+\epsilon \end{align}$$

Answer 2

En realidad son métodos de corte largo. En primer lugar, usted debe demostrar el lema que dice, $|a| < p \Leftrightarrow -a < p < a $ . Y esto no es difícil de demostrar, ya que es interpretable tanto por la imaginación como por la geometría. Ahora bien, pongamos $a=x-y$ y $p= \epsilon$ en su pregunta. Esto parece ser elegante, ¿no?