Comprender las implicaciones

Question

Tengo una serie de preguntas en las que la tarea consiste en añadir la flecha de implicación correcta.

Pude dar sentido a la mayoría de ellos, pero en el caso de dos problemas, no puedo entender por qué me equivoqué.

Esto es lo que he puesto:

Declaración $S1$

Declaración $S2$

Yo respondí

La respuesta en el libro es

$\frac{x}{x+1} = 0$

$x=0$

$S1\iff S2$

$S1 \Rightarrow S2$

$(a,b)$ es un punto de la línea $y=2x-1$

$b=2a-1$

$S1 \iff S2$

$S1 \Rightarrow S2$

Para el primero, no puedo ver cómo cuando $x=0$ , $\frac{x}{x+1}$ puede ser igual a cualquier cosa que no sea $0$ Así que seguramente la implicación funciona en ambos sentidos. Supongo que me estoy perdiendo algo obvio.

Para el segundo, el punto $(a, b)$ está en línea $y = 2x -1$ Así que $b$ debe ser igual a $2a - 1$ . De nuevo, supongo que me falta algo aquí.

Realmente agradecería cualquier ayuda aquí, me he quedado sin ideas.

Answer 1

La primera:

Suficiencia ( $\Rightarrow)$ : Supongamos que $x/(x+1) = 0$ . Esta expresión ya implica $x\neq -1$ . Así que podemos multiplicarlo por $x+1$ para conseguir $x = 0$ . (Verdad)

Necesidad ( $\Leftarrow)$ : Supongamos que $x = 0$ . Es un resultado trivial que $x/(x+1) = 0$ . (Verdad)

Por lo tanto, la primera es una condición N-S.

La segunda:

En la notación del constructor de conjuntos, "el punto está en la línea" si y sólo si $$ (a,b) \in \{(x,y) \in \mathbb{R}^2~|~y = 2x -1\} $$ y es equivalente para decir que $b = 2a - 1$ dado que $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ debido a Esquema de especificación del axioma . Es decir, la segunda es también una condición N-S.

Answer 2

Los símbolos representan el sentido de la implicación. Significa que se puede leer hacia atrás y/o hacia delante sustituyendo por "entonces". El que tiene dos flechas es "similar" al símbolo de equivalencia.

En la primera, x = 0 no implica sólo que x/(x+1)=0, sino muchas otras expresiones. Lo mismo para la recta.

En sentido estricto, la declaración tiene una dirección que debe ser leída rígidamente.