El término matemático "tipo finito" aparece cada vez más en los artículos modernos de hoy en día. Pero sigue siendo difícil de encontrar en los libros de texto estándar. Aprendí su definición en el Proyecto Stacks http://stacks.math.columbia.edu/tag/00F2 es definitorio de los mapas anulares. ¿Cuál es el punto de vista correcto cuando decimos "anillo de tipo finito", "grupo de tipo finito", "módulo de tipo finito"? ¿La definición en cada caso sería exactamente equivalente a la definición de "generado finitamente"?
Respuesta
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Creo que "tipo finito" y homomorfismos de anillo "finitamente generados" son realmente sinónimos. Pero "finitamente generado" también se utiliza para los módulos y, de hecho, para estructuras algebraicas arbitrarias (véase más adelante), por lo que a menudo se prefiere "tipo finito" en el ámbito de los homomorfismos de anillo. Para diferenciar aún más estas nociones, se dice "finito" si el módulo correspondiente está finitamente generado. Del mismo modo, para los esquemas, se pueden definir morfismos finitos y morfismos (localmente) de tipo finito. Véase aquí para las relaciones entre estas dos nociones.
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Si $C$ es una variedad en el sentido del álgebra universal, entonces un objeto $M \in C$ se llama generado finitamente si hay elementos $a_1,\dotsc,a_n$ tal que $M = \langle a_1,\dotsc,a_n \rangle$ donde el lado derecho es el subobjeto más pequeño de $M$ que contiene el $a_1,\dotsc,a_n$ . De este modo se obtiene la noción habitual cuando $C=\mathsf{Set},\, \mathsf{Grp},\,R\mathsf{-Mod},\, R\mathsf{-CAlg}$ etc.
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De forma más general, un objeto $M$ de una categoría arbitraria $C$ se llama finitamente generada si para cada diagrama dirigido $\{N_i\}$ de objetos cuyos mapas de transición son monomorfismos el mapa canónico $\varinjlim_i \hom(M,N_i) \to \hom(M,\varinjlim_i N_i)$ es biyectiva. Esto coincide con la definición anterior si $C$ es una variedad (ejercicio fácil).
