Dejemos que $ P $ sea un punto interior de $ ABC $ , de tal manera que $ Q $ y $ R $ son los reflejos de $ P $ en $ AB $ y $ AC $ respectivamente.
También se da que $ Q,A,R $ son colineales.
Entonces tengo que averiguar $ \angle A $ . ¿Cómo hacerlo?
(También tengo problemas para dibujar la figura)
Por qué ¿tiene problemas para dibujar esto? ¿Empiezas con el triángulo y luego no consigues la colinealidad?
Considera esto: la pregunta te pide que determines un ángulo, pero te da muy poca información aparte de eso. Esto sugiere que empezar con un ángulo arbitrario y tratar de crear el dibujo a partir de él es probable que fracase, porque la construcción sólo funciona para algún ángulo muy específico que aún no has encontrado.
Hay dos enfoques que yo sugeriría. Uno es probar ángulos "especiales". Cosas como $90°, 60°, 45°, 120°, 30°$ . Lo más probable es que uno de ellos haga que las piezas encajen en su sitio. El otro enfoque sería examinar más de cerca cómo falla la construcción en función de $\angle A$ . ¿Falla "más fuertemente" para algunos ángulos que para otros? En ese caso, vaya en la dirección que parezca más cercana a una solución. ¿Falla en un sentido para algunos ángulos y en el sentido contrario para otros? En ese caso, la solución que busca está probablemente entre estos dos. De este modo, puedes hacer una buena estimación de cuál debe ser el ángulo.
Dependiendo de lo riguroso que tenga que ser, su siguiente paso podría ser demostrar que el ángulo elegido conduce (o puede conducir) a la configuración descrita. Eso no debería ser demasiado difícil. Más difícil sería la tarea de demostrar que ningún otro ángulo puede llevar a dicha configuración. Si necesitas que eso se haga de forma rigurosa, supongo que intentaría una descripción algebraica del problema, ya que ahí es más fácil asegurarse de que no se ha pasado por alto algún caso de esquina.
No he incluido deliberadamente el ángulo o un dibujo. Creo que con estos pasos deberías ser capaz de encontrar la respuesta. Si lo haces, siéntete libre de responder a tu propia pregunta, proporcionando el ángulo, un dibujo y al menos una descripción intuitiva de lo que está pasando.
Si $Q'$ es la intersección de $PQ$ con $AB$ y $R'$ es el punto de intersección de $PR$ con $BC$
entonces $\angle{PAQ'} = \angle{Q'AQ} = \alpha$ y $\angle{PAR'} = \angle{R'AR} = \beta$
Así que $\angle{BAC} = \angle{R'AQ'} = \alpha + \beta$
Pero como $RAQ$ es una línea recta, con el ángulo $2(\alpha + \beta)$
donde debe tener eso
$$\angle{BAC} = \alpha + \beta = 90^{\circ}$$
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