Producto interno en espacios de Sobolev

Question

Muchos libros afirman lo siguiente:

Dejemos que $u, v \in W^{1,2}(\Omega)$ (un espacio de Sobolev), el producto escalar es:

$$u \cdot v = \int_{\Omega} uv \; dx + \int_{\Omega} \nabla u \nabla v \; dx $$

con $x = (x_1,x_2)$

¿Es una definición o se deriva de alguna relación? Si es una relación, ¿cómo encontrarla?

¿Es también un producto interno?

Answer 1

La respuesta que he escuchado es la siguiente:

Una forma (hay otras) de analizar las soluciones en el análisis moderno de las EDP es:

1. Especificar un espacio de funciones con cierta regularidad (por ejemplo, todas las funciones sobre un dominio acotado que tienen derivadas continuas hasta el segundo orden)
2. Imagina una EDP como un operador en este espacio de funciones.

A continuación, utilizamos las herramientas del análisis funcional para decir algo acerca de si existe una solución (tal vez jugar algún juego sobre el examen de cómo las secuencias en el dominio se asignan a la gama bajo el operador definido en 2).

Sin embargo, debemos tener cuidado con los espacios y operadores que definimos si queremos jugar a este juego. Consideremos nuestra primera suposición de cómo podríamos querer jugar:

1. Consideremos funciones continuas sobre un intervalo acotado bajo la norma sup
2. Consideremos el operador de la derivada

Si consideramos la secuencia $f_n(x)=\sin(nx)$ El operador de la derivada dará el siguiente límite: $$f'_n(x) = n \cos(nx) \\ ||f'_n|| \leq n ||f_n||$$ Es decir, el operador de la derivada no es un operador continuo (me he saltado un paso, pero he dicho el chiste). Sin embargo, los operadores continuos sobre espacios son cosas que necesitamos para jugar a nuestro juego -- piensa en lo que hacen: si tenemos una secuencia en el dominio, un operador continuo nos permite decir algo sobre cómo el objeto limitante en el dominio pasa al rango.

Así que nos gustaría fabricar espacios completos de funciones sobre los que podamos definir mapas continuos. Espacios de Sobolev $W^{k,p}$ son una tecnología que tenemos para esto. Lo que hacemos: controlar (vía $L^p$ norma) lo mal que está la primera $k$ derivadas de una función pueden comportarse. Estas normas se crean para que podamos crear operadores continuos sobre estos espacios.

Que $W^{1,2}$ es Hilbert es coincidente, en general estas cosas son espacios de Banach.