Probar que una secuencia tiene una subsecuencia con límites

Question

Tengo problemas para resolver el siguiente problema/prueba.

Si dejamos que $(a_n)$ sea una secuencia acotada. Estoy tratando de demostrar que $(a_n)$ tiene una subsecuencia $(a_{n_k})$ con $$\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=\limsup a_n$$

Sé que lo siguiente sobre un limsup,

Dejemos que $(s_n)$ sea una secuencia en $R$ . Definimos $$\limsup\ s_n = \lim_{N \rightarrow \infty} \sup\{s_n:n>N\}$$

Answer 1

Dejemos que $s_{N}=\sup\{a_{n}:n>N\}.$ Entonces sabemos que para cada $\varepsilon>0,$ y para cada $N>0,$ hay algo de $n>N$ tal que $s_{N}-\varepsilon<a_{n}\leq s_{N},$ por definición del sup. Para $\varepsilon=1/k,$ dejar $n_{k}$ sea algún índice $>\max\{k,n_{k-1}\}$ tal que esta propiedad se mantiene, es decir, $$s_{k}-1/k<a_{n_{k}}\leq s_{k}\text{ for all }k\geq 1.$$ Entonces, tomando los límites como $k\rightarrow\infty,$ vemos que $$\lim\sup_{n} a_{n}\leq \lim\inf_{k} a_{n_{k}}\leq \lim\sup_{k} a_{n_{k}}\leq \lim\sup_{n} a_{n},$$ recordando que $\lim_{k\rightarrow\infty}s_{k}=\lim\sup_{n}a_{n}.$ Entonces $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{n_{k}}$ existe y es igual a $\lim\sup_{n}a_{n},$ desde $\lim\inf_{k}a_{n_{k}}=\lim\sup_{k}a_{n_{k}}=\lim\sup_{n}a_{n}.$ Esto completa la prueba.