Oye, ¡también estoy trabajando en ese conjunto de problemas del libro del Dr. Miranda!
Creo que la solución con esos cuatro primeros problemas (IV.1.A-D) es comprobar qué ocurre con las formas dadas bajo mapas de transición utilizando la fórmula dada por $g(w) = f(T(w))T'(w)$ (una cosa que parece una regla en cadena) al principio de la sección. Así, en cualquier intersección no vacía de dominios de dos gráficos sobre una superficie de Riemann, la colección de formas 1 correspondientes a una determinada $f(z)dz$ (donde $z$ es la coordenada de una de las cartas) deben ser compatibles, es decir $g(w) = f(T(w))T'(w)$ debe ser la función holomorfa de la forma 1 $g(w)dw$ cuando se pasa de $f(z)dz$ . (Aquí, $w$ es la coordenada del segundo gráfico).
Si sólo te dan una forma $f(z)dz$ en un gráfico, y luego calcular cuáles deben ser las otras formas 1 (mediante la fórmula y los mapas de transición) para definir una forma 1 en toda la superficie de Riemann (con lo que realmente quiero decir una colección de formas 1, una para cada gráfico, que son compatibles en el sentido que define el Dr. Miranda). La única condición que hay que tener en cuenta, entonces, es que la transición da otra $holomorphic$ 1 forma. Anoche empecé con este conjunto de ejercicios después de terminar mi primera lectura de casi todo el libro (tratando de conseguir esa conexión entre los avatares del grupo Picard durante el descanso), y me ayudó mucho volver a las secciones sobre los mapas holomórficos en las superficies de Riemann específicas y los gráficos de las superficies de Riemann específicas (para obtener los mapas de transición explícitos que el Dr. Miranda deriva/da).
En su problema particular, los mapas de transición son la identidad o (como resulta) una función holomorfa $g(z)$ (o $g(w)$ o $g(u)$ dependiendo de las variables que utilices). Además, puede observar que $p(u,g(u))$ es ciertamente holomorfa para una función holomorfa $g$ y un polinomio $p(u,v)$ . Un comentario similar podría hacerse sobre $r(u,g(u))$ para una función racional $r(u,v)$ .
Espero que esto ayude. (Además, ¡felicitaciones por trabajar en este material como estudiante! Yo soy un estudiante de primer año de posgrado, y todavía es un material difícil para mí. Sin embargo, este libro tiene una gran exposición, y el Dr. Miranda realmente quería que fuera accesible).
La pieza final de este problema requerirá que utilices el Teorema de la Función Implícita, enunciado (en su forma bidimensional o cualquier dimensión pequeña correcta) en la sección sobre curvas planas afines suaves (y realmente la razón por la que podemos hacer superficies de Riemann de estos objetos en primer lugar).
