Yo resolvería este ejercicio tratando de encontrar generadores estables en la intersección de su campo sigma.
Por ejemplo, definamos para dos campos sigma arbitrarios $\mathcal{G}$ y $\mathcal{F},$ la intersección: $\mathcal{G} \cap \mathcal{F}: = \{H | H = G \cap F, G \in \mathcal{G}, F \in \mathcal{F} \}. $ El hecho notable es que $\mathcal{G} \cap \mathcal{F}$ es un generador estable de intersección de $\sigma(\mathcal{G}, \mathcal{F})$ .
Por lo tanto, en nuestro caso, observemos que: $$\mathcal{B}_k = \sigma\left( \bigcup_{l_1, \ldots, l_m \in I_k} (\mathcal{A}_{l_1} \cap \cdots \cap \mathcal{A}_{l_m})\right)$$
Y: $$\mathcal{E}_k:= \bigcup_{l_1, \ldots, l_m \in I_k} (\mathcal{A}_{l_1} \cap \cdots \cap \mathcal{A}_{l_m})$$ es un generador de intersección estable.
Ahora sólo tenemos que comprobar la independencia de los generadores, es decir $$\forall E_1 \in \mathcal{E}_1, \ldots, E_n \in \mathcal{E}_n, \text{ } \mu(E_1, \ldots, E_n) = \Pi_{k=1}^n \mu(E_k).$$
Ahora descomponemos $E_k = A_{k_1} \cap \cdots \cap A_{k_{m_k}}$ encontramos que $$\mu(E_1, \ldots, E_n) = \mu(\cap_k(A_{k_1}\cap \cdots \cap A_{k_{m_k}})) = \Pi_{k=1}^n \mu((A_{k_1}\cap \cdots \cap A_{k_{m_k}})) = \Pi_{k=1}^n \mu(E_k)$$
