Solucionar $x^{x^x}=-1$

Question

Hago saber que si usted utiliza tetration la ecuación tendría este aspecto. $$^3x=-1$$

Entonces, podría, teóricamente, el uso de la super-función de raíz para resolver la ecuación, pero no sé cómo usar el super-función de raíz ni sé de cualquier sitio web en línea que podría calcular la ecuación.

Mathematica también no ayuda.

Entonces, ¿cómo intenta resolver?

También, en caso de que alguien esté interesado, aquí está la gráfica de $$z = \Re[(x+iy)^{\Large (x+iy)^{(x+iy)}}]$$

Y $$z = \Im[(x+iy)^{\Large (x+iy)^{(x+iy)}} ]$$

Answer 1

Con Newton-iteración en Pari/GP I get [actualización:] 12 soluciones:

        x                                     
 ------------------------------------------  
  x0 = -1                                    (pure red colour)
  x1 = -0.158908751582 + 0.0968231909176*I   (pure blue colour)
  x2 =  2.03426954187 + 0.678025662373*I     (pure green colour)
  x3 =  2.21022616044 - 2.14322152216*I
  x4 =  2.57448299040 + 3.39212026316*I
  x5 =  2.93597198855 - 4.49306256310*I
  x6 =  3.27738123699 + 5.51072853255*I
  x7 =  3.60013285730 - 6.47345617876*I
  x8 =  3.90713751281 + 7.39619042452*I
  x9 =  4.20091744993 - 8.28794173821*I
 x10 =  4.483469512   + 9.154653998*I
 x11 =  6.24636262    -14.76947947*I

comprobando el rango de -10-10i a 10+10i en los pasos de 1/20 con 200 dígitos decimales de precisión interna.

Estos son hasta ahora los "principales" de las soluciones, donde "principal" significa, no podemos reflexionar sobre las diversas ramas del logaritmo complejo.

El Pari/GP-rutinas son (en principio, mucho mejor para dibujar la imagen)

fmt(200,12) \\ user routine to set internal precision(200 digits)
            \\ and displayed digits
lIPi=log(I*Pi)
myfun(x)=local(lx=log(x));log(lx)+lx*x
mydev(x) =local(h=1e-12); (myfun(x+h/2)- myfun(x-h/2))/h

{mynewton(root,z=lIPi) =local(err);
      for(k=1,150, 
            err= precision((myfun(root)-z)/mydev(root),200);
            root = root-err;
            if(abs(err)<1e-100,return(root));
          );
       return([err,root]);}              
  \\ --------------------------------------------------

 {for(r=-10,10,for(c=-10,10, z0= c -r*I;
        if(z0==-1,print(z0);next());
        if(z0==0 | z0==1 ,print(z0," fixpoint!");next());
        print([z0,mynewton(z0)]);
        );}

---

Aquí es un gráfico de la matriz de la compleja valores iniciales $z$ $-10+10î \ldots 10-10î$ principales a las soluciones que $x_0,x_1,x_2,... x_{11}$ y en algunos casos no convergen.
El puro color azul marca la zona, para que $x_1$ es la atracción por el método de Newton-iteración, el puro es de color verde, marca la zona, para que $x_2$ es de la atracción, de la pura color rojo donde $x_0=-1$ está atrayendo. Las otras raíces se han modificado/mezclas de colores. El sombreado muestra aproximadamente el número de iteraciones necesario, al menos iteraciones el más claro es el color.
La iteración tenido que excluir el fixpoints 1,0,-1 para evitar infinito número de iteraciones.

(Hay algunos falsos puntos, no visible en la imagen, estas son las coordenadas donde el método de Newton-iteración no suficientemente convergen)

Aquí están las ubicaciones de los 12 primeros encontrado raíces hasta ahora. Se sugiere, nos vamos a encontrar infinidad de...

Answer 2

Claramente $x=-1$ es una solución. Aquí voy a demostrar que es la única verdadera solución, soluciones complejas son un asunto diferente.

Dado $z,\alpha \in \mathbb{C}$ , tenemos $$z^{\alpha} = \exp(\alpha [\log |z| + (\arg z)i])$$ Así que vamos a $x = re^{i\theta} \in \mathbb{C}$. Entonces $$\begin{align} x^{x^x} &= \exp(x^x[\log r + \theta i]) \\ &= \exp\big( \exp(x\log r +\theta i)[\log r + \theta i]\big)\\ &= \exp\big( r^x(\cos \theta + i \sin \theta)(\log r + \theta i) \big)\\ &= \underbrace{\exp\big( r^x(\cos \theta \log r - \theta \sin \theta) \big)}_{\in \mathbb{R}^+} \cdot \exp \big( r^x(\sin \theta \log r + \theta\cos \theta)i \big) \end{align}$$

Por lo tanto $\arg x^{x^x} = r^x(\sin \theta \log r + \theta \cos \theta)$.

Por ejemplo, si $x \in \mathbb{R}$$x<0$$\arg x^{x^x} = -(-x)^x\pi$. Así que si vamos a tener $x^{x^x}=-1$ $x \in \mathbb{R}$ entonces, ciertamente, necesitamos $x<0$, de modo que $\arg x^{x^x} = \pi$. Por lo tanto, si $x<0$$x^{x^x}=-1$, entonces tenemos $$-(-x)^x = -1$$ que es equivalente a $(-x)^{(-x)}=1$. Como la única solución a$y^y=1$$y>0$$y=1$, esto significa que $x=-1$ es la única solución real.

Answer 3

He entrado en este problema de nuevo y proponer ahora, para utilizar el poder de la serie para la inversión $ \;^3 W(x)= \text{reverse}(x \cdot \exp(x \cdot \exp(x)))$ con el de Lagrange de la serie de inversión. Usted obtendrá una serie con un muy limitado radio de convergencia; sin embargo, parece ser finito y no realmente de cero. Pero los signos de los coeficientes de alternativa, así que usted puede aplicar de Euler-suma o herramientas similares a ellos.

A continuación, vamos a definir $x$ como desconocido y $u=\log(x)$ su logaritmo, y $y=x^{x^x} = -1 $ el valor conocido y $v=\log(y)$ su logaritmo.

A continuación, $u = \;^3W(v)$ (en el intervalo de convergencia) y $x=\exp(u)$ .

El uso de Euler-suma (de orden complejo y 128 términos para el parcial de la serie) me llegan a
$\qquad u=0.762831989634 + 0.321812259776î \qquad$ y
$\qquad x=2.03425805694 + 0.678225493699î \qquad$. (En mi post anterior me dio
$\qquad x=2.03426954187 + 0.678025662373î \qquad$ por Newton-aproximación).

La verificación de da $x^{x^x}=-0.998626839391 + 0.0000476837419237î$ $0.00137 + 0.000047î$ aparte.

Creo que esta forma es, en principio, viable, sin embargo uno necesita entonces una mejor convergencia-aceleración / sumatoria de las herramientas. Y posiblemente es un significativo punto de partida para la clásica de Newton-aproximación.

Más treatize mostrando más detalles se pueden encontrar en mi sitio web

Answer 4

Además de a $x=-1$, hay raíces complejas. Estos se pueden encontrar numéricamente. Por ejemplo,

fsolve(x^(x^x) = -1, complex, avoid = {x = -1});

$$- 0.1589087516+ 0.09682319092\,i $$