Encontrar la segunda directriz de una hipérbola

Question

Un foco y la directriz más cercana a este foco son $(0,-5)$ y $d_1: x-3y-4=0$ respectivamente. Además, la excentricidad es $\sqrt{10}$ . Encuentra la segunda directriz de la hipérbola.

He supuesto que la segunda directriz es $d_2: x-3y+c=0$ ya que las directrices son paralelas. Y entonces, tengo dos valores posibles para $c$ a saber, $-\cfrac{14}{9}; -\cfrac{256}{9}$ .

¿Cómo decidir cuál elegir?

Answer 1

Una de sus raíces corresponde a un hipérbola que es lo que quieres. La segunda raíz corresponde a un elipse . La elipse en la segunda raíz tiene una excentricidad igual a $1$ dividido por la excentricidad de la hipérbola que quieras.

Para orientarse, encuentre el valor de $c$ tal que $x-3y+c=0$ en el foco dado. Esto, por supuesto, es $-15$ . La directriz dada tiene $c=-4$ que es mayor. Así que ahora, si intentas la raíz $c=-256/9<-15$ para la otra directriz, tienes el foco entre las directrices que corresponde a esa elipse. Para obtener la hipérbola debes seleccionar $c>-4$ para la otra directriz, poniendo la directriz dada ( $c=-4$ ) entre el foco ( $c=-15$ ) y la directriz que intentas encontrar. Por lo tanto, seleccione $c=-14/9$ .