Si $U$ es un filtro en $X$ y $W$ es un filtro en $Y$ Su producto es el filtro $U\times W$ en $X\times Y$ generado por los rectángulos $A\times B$ donde $A\in U$ y $B\in W$ .
En determinadas circunstancias (por ejemplo, cuando $U$ es $|W|$ -completa), el producto de dos ultrafiltros $U$ y $W$ es de nuevo un ultrafiltro. En esta situación, $U$ y $W$ debe ir al trabajo en el siguiente sentido: para cualquier relación binaria $R$ tenemos $\forall^U x\ \forall^W y\ (x\mathrel{R} y)$ si y sólo si $\forall^W y\ \forall^U x\ (x\mathrel{R} y)$ . (Aquí, para $P$ un predicado unario, escribimos $\forall^U x\ P(x)$ para significar que $\{x\in X : P(x)\}\in U$ .)
La cuestión es si lo contrario es válido.
Pregunta: Si dos ultrafiltros $U$ y $W$ viajar, debe $U\times W$ ser un ultrafiltro?
Es concebible que una respuesta positiva sea demostrable en ZFC o asumiendo GCH. La pregunta tiene una respuesta positiva vacía bajo el supuesto de que no hay cardinales medibles, ya que esto implica que todos los ultrafiltros conmutables son principales. Dicho de otro modo, la construcción de un contraejemplo requeriría el uso de cardinales grandes.
Antecedentes: Ultrafiltros $U$ y $W$ tal que $U\times W$ es ultra fueron estudiados por Blass en su tesis. Blass demostró que esto es equivalente a la afirmación de que $U$ es completo módulo $W$ en el sentido de que para cualquier secuencia $\langle A_i : i\in I\rangle\subseteq U$ definido en un $W$ -Juego grande $I$ , $\bigcap_{i\in J} A_i\in U$ para algunos $W$ -Juego grande $J$ . En particular, a pesar de todas las apariencias, la relación $U$ es completo módulo $W$ es simétrico en $U$ y $W$ .
Los ultrafiltros conmutativos están relacionados con el Lemma de los Ultrapoderes Conmutativos de Kunen, que dice que si $U$ es $|W|$ -completa, entonces $j_U(j_W) = j_W\restriction \text{Ult}(V,U)$ (que está bastante claro) y $j_W(j_U) = j_U\restriction \text{Ult}(V,W)$ (que no es trivial). Aquí $j_U : V\to \text{Ult}(V,U)$ denota el (colapso transitivo de la) incrustación ultrapotente asociada a $U$ y $j_U(j_W) = \bigcup_{x\in V} j_U(j_W\restriction x)$ . Es un ejercicio no muy fácil ver que para ultrafiltros contablemente completos $U$ y $W$ conmutan si y sólo si $j_U(j_W) = j_W\restriction \text{Ult}(V,U)$ . En particular, a pesar de todas las apariencias, la relación $j_U(j_W) = j_W\restriction \text{Ult}(V,U)$ es simétrico en $U$ y $W$ .
