Una pregunta de probabilidad condicional

Question

La pregunta es:

Hay dos cajas, la primera contiene n bolas rojas, y la segunda contiene m bolas con una sola bola roja y otra azul, (m, n>2). Ahora seleccionamos al azar una caja, y luego elegimos dos bolas por turno sin reemplazo.

(1). Averigua la probabilidad p de que la bola elegida en primer lugar sea roja

(2). Bajo la condición de que la primera bola es roja, calcula la probabilidad q con la que la segunda bola también es roja.

Evidentemente,

                               p = (m+1)/2m

Sin embargo, la probabilidad q que he calculado es

                               p = m/(m+1) 

es incorrecto, ya que el autor dijo que es un error común. La respuesta correcta que dio el autor es

                                q = 1/2

He leído el comentario del autor. Sea Ai(i=1,2) el evento de la (i)ª caja seleccionada, C el evento de que la bola elegida sea roja. El autor dice que

                             P(A1) = 1/2
                             P(A2) = 1/2
                             P(C|A1) = 1
                             P(C|A2) = 0

Así,

                       q = P(C) = 1*1/2 + 0*1/2

Y el algoritmo erróneo que utilicé (Bi denota el caso de que la (i)ª bola elegida sea roja)

                             q = P(B2|B1)

El autor señaló que no puede garantizar que el B1 particionado sea el mismo en el numerador y en el denominador si seguimos este método.

Sin embargo, he pensado esta cuestión de otra manera. Si la primera bola elegida es roja, la probabilidad de que la caja seleccionada sea la primera o la segunda cambiará como pienso.

Por lo tanto, he calculado la probabilidad

                              P(A1|B1) = m/(m+1)
                              P(A2|B1) = 1/(m+1)

Así, creo que la probabilidad de que la segunda bola elegida sea roja es

                           q=1*m/(m+1) + 0*1/m+1

que es lo mismo que mi respuesta errónea anterior.

Mi pregunta es cuál es la falacia de mi razonamiento. Y ¿podría mostrarme un cálculo matemático restringido de la respuesta y no sólo un razonamiento verbal?

Porque la pregunta es difícil de buscar en Google, lo siento por duplicar. Si hay una pregunta similar. Por favor, dame un puntero. Gracias.

El inglés no es mi lengua materna, si he dicho algo que es inexacto . Por favor, señálenme. Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $A_i$ sea el caso de que el $i$ -se escoge la caja de la derecha, $B$ y $C$ sea el caso de que el $1$ st y $2$ a bola es roja, respectivamente.

En primer lugar, una cuestión secundaria aquí es que el autor ha oprimido la notación condicional, por lo que la probabilidad $P$ utilizado en el comentario es diferente de la primera parte, lo que fácilmente causará confusión. Lo que quiere decir es

$$ P(C|A_1, B) = 1, P(C|A_2, B) = 0$$

Tenga en cuenta que sin la información que el $1$ Si la bola es roja, tenemos $$ P(C|A_2) = P(B|A_2) = \frac {1} {m}$$

Ahora la cuestión principal es cómo interpretar $q$ - ¿cuál es el significado de "Bajo la condición de que la primera bola sea roja"?

El autor quiere decir que $$ q = P(B \cap C) = P(B \cap C|A_1)P(A_1) + P(B \cap C|A_2)P(A_2) = \frac {1} {2} $$

Pero usted interpreta como

$$ q = P(C|B) = \frac {P(B \cap C)} {P(C)} = \frac {1} {2} \times \frac {2m} {m+1} = \frac {m} {m+1}$$

Así que esto causa la diferencia. La ambigüedad léxica aquí no es un gran problema en su estudio - siempre y cuando usted sabe las matemáticas que está bien. En mi opinión, votaré por su respuesta.

Answer 2

$P(R,R) = P(B1).P(2nd Red/1st Red) + P(B2).P(2nd Red/1st Red) = \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{2}.0 = \frac{1}{2}$ Su respuesta es incorrecta porque, la primera selección es de nuevo entre las cajas y luego dos bolas, por lo tanto, la primera caja contiene todos los rojos y por lo tanto P(2 º es rojo / 1 º es rojo en Box1) = 1 y en la otra caja P(2 º es rojo / 1 º es rojo en la caja 2) = 0(debido a la condición de no reemplazo)

¿No has utilizado la lógica anterior para la primera parte?

$P(R) = P(box 1) . P(red/Box 1) + P(box 2).P(red/Box 2) = \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{2}.\frac{1}{m}$ .