Acerca de una secuencia de aplicaciones holomorfas de anillos.

Question

Sea $A_n=\{z\in \mathbb{C}: \epsilon_n\leq |z| \leq 1\}$ y $$ f_n\colon A_n\to \mathbb{C}, \quad n\in \mathbb{N}, $$ una secuencia de funciones holomorfas tal que $\lim_{n\to \infty} \epsilon_n=0$, y para cualquier $r<1$, $\{f_n|_{\{z\in \mathbb{C}: r\leq |z| \leq 1\}}\}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $0$ en la norma $C^\infty$ (Uniformemente con todas las derivadas).

¿Es cierto que o bien $\lim_{n\to \infty} ||f_n(x)||_{\infty} =0$ para todo $x$ o (tras pasar a una subsecuencia) existen secuencias de puntos $\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{w_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ en los componentes de borde $\{|z|=\epsilon_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ con $$ \Big(\lim_{n\to \infty} f_n(z_n) \neq \lim_{n\to \infty} f_n(w_n) \Big) \in \mathbb{C}\cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}. $$

Answer 1

No estoy seguro de entender correctamente tu pregunta. En particular, no estoy seguro de qué significan $+ \infty$ y $- \infty.

Como lo entendí inicialmente, la respuesta es negativa. Sea $A(r,1)$ el anillo de puntos con $r < z < 1.

Define $\newcommand{\eps}{\varepsilon}\eps_n := 1/n^2$, $A_n := A(\eps_n,1)$ y establece $f_n \colon A_n \to \mathbb{C}; z \mapsto \frac{1}{nz}$.

Claramente, las funciones convergen uniformemente a cero en cada anillo $A(\eps,1)$. Sin embargo, si $z_n$ es una secuencia con $|z_n| = \eps_n$, entonces $$ |f_n(z_n)| = n \to \infty.$$

Si por converger a $+ \infty$ o $- \infty$ significas que los puntos deberían converger hacia el infinito a lo largo de diferentes rayos (por ejemplo, asintóticamente al eje real positivo/negativo), creo que la respuesta es positiva.

De hecho, el máximo debe tomarse en el borde, y debido a que la función no tiene polos y toma valores cerca de cero, la imagen del borde no puede estar contenida en un pequeño vecindario de algún valor finito. Entonces, o puedes encontrar subsecuencias de valores que convergen a valores finitos, o, para $n$ grandes, la imagen del borde rodea cualquier disco fijo alrededor del origen. En este último caso, debe contener valores reales positivos y negativos arbitrariamente grandes.