¿La raíz cuadrada de la función suave f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)>0 es suave?

Question

$\newcommand{\nc}{\newcommand} \nc{\BR}{\mathbb R}$ Dejemos que $f: U \to \BR$ sea una función suave donde $U$ es una vecindad de $0\in \BR$ y $f$ es suave. Además, $f(0) = 0$ , $f'(0) = 0$ y $f''(0) > 0$ . A partir de esto podemos reducir $U$ a un conjunto en el que $f$ es no negativo, por lo que la raíz cuadrada está bien definida. Quiero demostrar (conjeturar) que $g(t) = \pm \sqrt{f(t)}$ es una función suave. (donde $g(t) = -\sqrt{f(t)}$ para $t<0$ , $g(t) = \sqrt{f(t)}$ para $t \geq 0$ )

Está claro que el único problema es la suavidad en 0. Leo este enlace que podrían estar relacionados, pero en los contraejemplos dados $f''(0) = 0$ mientras que yo asumo que $f''(0) > 0$ . He demostrado directamente (usando límites) que $g'(0) = \frac{1}{2}f''(0)$ y que $g''(0) = g'''(0) = 0$ . Sin embargo, la forma de $g^{(n)}(t)$ rápidamente se vuelve muy complicado trabajar con él, así que estoy atascado en probarlo en el caso general.

Contexto: Quiero demostrar el lema de Morse en dimensión 1. Si puedo demostrar que $g$ es suave, entonces su inversa $g^{-1}$ es un cambio suave de coordenadas cerca de 0 (suave por el Teorema de la Función Inversa) tal que $f(g^{-1}(t)) = t^2$ .

Answer 1

Para los fijos $x$ ya que $f(0) = 0$ utilizando la función de ayuda $h_x(t) = f(t\cdot x)$ podemos escribir

\begin{align} f(x) &= h_x(1) - h_x(0)\\ &= \int_0^1 h_x'(t)\,dt\\ &= \int_0^1 f'(t\cdot x)\cdot x\,dt\\ &= x\cdot \underbrace{\int_0^1 f'(tx)\,dt}_{f_1(x)}. \end{align}

Desde $f$ es suave, podemos diferenciar bajo la integral tantas veces como queramos, por lo que $f_1$ también es suave.

Ahora $f_1(0) = f'(0) = 0$ por lo que podemos hacer la misma construcción con $f_1$ ,

$$f_1(x) = x\cdot \underbrace{\int_0^1 f_1'(tx)\,dt}_{f_2(x)}.$$

Con el mismo argumento anterior, $f_2$ es suave. Con

$$f_1'(x) = \int_0^1 s\cdot f''(sx)\,ds,$$

podemos escribir

$$f_2(x) = \int_0^1 f_1'(tx)\,dt = \int_0^1 \int_0^1 s f''(stx)\,ds\,dt,$$

que muestra

$$f_2(0) = \frac{1}{2} f''(0) > 0,$$

y por continuidad $f_2(x) > 0$ en algún barrio $V$ de $0$ . En $V$ tenemos $g(x) = x\cdot \sqrt{f_2(x)}$ y como la raíz cuadrada de una función suave estrictamente positiva, $\sqrt{f_2(x)}$ es suave. De ello se deduce que $g$ es suave en $V$ .