Esta es una pregunta de AP:
¿Cómo definiría usted $f(7)$ con el fin de hacer $f$ continua en $7$ ?
$$f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 7}$$
Una larga división se convierte en $f$ a
$$f(x) = (x + 5) + \frac{32}{x - 7}.$$
Obviamente $f$ tiende a infinito en $x = 7$ . No veo cómo podría definir $f(7)$ para hacerla continua. ¿Es problemática la pregunta? ¿Alguna idea?
Recordemos que una función $f$ es continua en $c$ si
$$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)$$
Si uno de los gráficos de su propuesta $f$ (en rojo abajo, con $x=7$ en azul), podemos ver que no es así: un límite es $+\infty$ y el otro es $-\infty$ :
La conclusión más probable es que hay un error tipográfico; apoyo la sugerencia de Michael Hardy en los comentarios sobre este asunto. Considere en su lugar
$$f(x) = \frac{x^2-2x-35}{x-7}$$
El numerador sería el factor $(x-7)(x+5)$ lo que permite concluir que $f(x) = x+5$ para todos $x \ne 7$ . A la luz de esto, la única definición sensata para $f(7)$ En cuanto a garantizar la continuidad, sería asegurar que $f(7) = 7+5=12$ . Esto se comprueba además gráficamente (aunque debería haber un "agujero" en $x=7$ en el gráfico rojo), y si se desea se puede demostrar el límite a través del método de su elección:
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