Un deltaedro es un poliedro cuyas caras son triángulos equiláteros. Es bien sabido que existen exactamente ocho deltahedros convexos, y es fácil descubrir que esto fue probado por primera vez por Freudenthal y van der Waerden en 1947.
Desafortunadamente, el artículo se encuentra en una revista bastante oscura y además está escrito en holandés. (Freudenthal, H; van der Waerden, B. L. (1947), "Over een bewering van Euclides ("Sobre una Afirmación de Euclides")", Simon Stevin 25: 115–128). No pude obtener este artículo. He pasado mucho tiempo buscando en otros lugares pruebas. La mayoría de los libros y artículos que consulté sobre el tema simplemente se remitían al artículo de Freudenthal-van der Waerden. La única prueba que encontré fue bastante ad hoc y también poco convincente: dependía de muchas afirmaciones bastante vagas sobre la forma geométrica de un deltahedro que no me parecían en absoluto obvias.
Si has visto la prueba de Freudenthal-van der Waerden, ¿cómo es? Si no la has visto, pero tienes una idea de cómo demostrar esto, me alegraría verlo también.
0 votos
La característica de Euler da algunas pistas aquí, pero esto me ha llevado a jugar con el set de "Geomag" de mis hijas. Esto demuestra que aunque la conclusión es "obvia" de la manera "tradicional" (mover las manos), requiere las propiedades geométricas y métricas del espacio subyacente y no es un teorema topológico. Por ejemplo, hay una configuración con 2 vértices de orden 3 (3 aristas), 2 de orden 4 y 2 de orden 5, pero no es convexa. Podría hacerse convexa si las caras no fueran equiláteras. Por lo tanto, la prueba no va a ser sin sus puntos técnicos.
0 votos
@MarkB Sí, así es. Por supuesto, lo primero que miré fue la característica de Euler, pero no te acerca mucho. Hay 19 configuraciones de grados de vértices que satisfacen el criterio de Euler. Algunas de estas pueden descartarse por razones topológicas, pero otras requieren propiedades geométricas específicas de $R^3$, y por supuesto la característica de Euler no te dice nada sobre si el politopo será convexo. Escribí un artículo de blog sobre este enfoque particular hace unos años. Muchas gracias por tu comentario.
0 votos
MarkD - Estaba tomando algunas notas y usé la misma notación que en tu publicación de blog. Mencionas la configuración (2,1,4) (dos vértices de orden 3, uno de orden 4 y cuatro de orden 5). Esto revela un bloque diferente para una prueba: es posible hacer un sólido convexo agregando un vértice de orden 6, que en el sistema de contabilidad "natural" tiene un costo de cero, pero el vértice de orden 6 está en el medio de un borde del casco convexo, por lo que es un vértice del grafo pero no del sólido convexo.