Solucionar $f^2(x)=x+f(x+1)$

Question

Si la función de $f(x)$ es tal que $$f^2(x)=x+f(x+1),$$ encontrar una forma cerrada de expresión para $f$.

He encontrado $$f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+1+\sqrt{x+2+\sqrt{x+3+\cdots}}}}$$ es una $f$. ¿Alguien tiene otras soluciones? Gracias.

Answer 1

Siempre se puede tomar la raíz cuadrada, por lo que $$ f(x)=\pm\sqrt{x\pm\sqrt{x+1\pm\sqrt{x+2\pm\sqrt{x+3\pm\cdots}}}} $$ Le da una cantidad no numerable de soluciones...

Answer 2

Observe que $f(0)$ no es nada más que la raíz cuadrada de la Anidados Radical Constante, lo que es aún desconocido para poseer una forma cerrada. Obviamente, si f fueron poseen una forma, entonces así que esta constante, en el sentido de su pregunta sigue abierta.