Demostrar que una secuencia en un conjunto es Cauchy en una métrica si es Cauchy bajo una métrica equivalente

Question

Sean d y d' métricas fuertemente equivalentes sobre un conjunto X. Demostrar que una sucesión es Cauchy en (X,d) si y sólo si es Cauchy en (X,d').

d es fuertemente equivalente a d' si $\exists$ constantes $c_1,c_2$ tal que para cualquier $p,q$ que tenemos: $d(p,q)\leq c_1 d'(p,q)$ y $d'(p,q)\leq c_2 d(p,q)$

Answer 1

Supongamos que $(x_n)$ es Cauchy con respecto a $d$ . Fijar $\varepsilon > 0$ . Entonces existe un $N$ tal que $$n, m \ge N \implies d(x_n, x_m) < \frac{\varepsilon}{c_2} \ldots$$