Convergencia en el espacio de las secuencias convergentes

Question

$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ Dejemos que $\F$ sea el campo de los números reales/complejos y defina $$c(\F)=\{s\colon\N\to\F|~\exists t\in\F~\text{such that }\lim_{i\to\infty}|s(i)-t|=0\}.$$ Quiero demostrar que este espacio es completo con respecto a la norma $\|s\|=\sup_{i\in\N}|s(i)|$ .

He encontrado otro puesto con una pregunta similar y seguí las pistas, pero me quedé atascado en la prueba.

Hasta aquí he llegado:

Dejemos que $(s_n)$ sea Cauchy y fije $i\in\N$ . Entonces la propiedad de Cauchy implica que $\{s_n(i)\}_n$ es Cauchy en $\F$ . Por la integridad de $\F$ hay un límite, digamos $s(i)$ . Definir $s=(s(1), s(2), \ldots)$ .

He demostrado con éxito $$\lim_{n\to\infty}\|s_n-s\|=0\implies s\in c(\F).$$ ¿Cómo puedo demostrar $\lim\limits_{n\to\infty}\|s_n-s\|=0$ (directamente de las definiciones)?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\|s_n-s\| &=\lim_{n\to\infty}\sup_{i\in\mathbb N}\left|s_n(i)-\lim_{m\to\infty}s_m(i)\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\sup_{i\in\mathbb N}\lim_{m\to\infty}\left|s_n(i)-s_m(i)\right|\\ &\leq\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\sup_{i\in\mathbb N}\left|s_n(i)-s_m(i)\right|\\ &\leq\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\|s_n-s_m\|=0\\ \end{align}$$ por la definición de una secuencia de Cauchy.