¿Cómo se imagina el oscilador armónico cuántico con la interpretación de la creación de partículas?

Question

Para el oscilador armónico cuántico simple podemos resolver la ecuación de Schrodinger y derivar la forma analítica de los estados propios de, por ejemplo, un electrón no relativista en un potencial armónico. A continuación, podemos definir operadores de escalera que nos permitan desplazarnos entre los estados propios del potencial. Una interpretación de estos operadores de escalera es que "crean" o "destruyen" un fotón de energía hw. Se puede pasar a definir el operador Número que nos permite determinar cuántas veces se ha excitado el oscilador o, equivalentemente, cuántos "fotones" hay en el sistema.

Mi pregunta es: ¿es correcto decir que la función de onda que derivamos para los diferentes niveles de energía sigue describiendo el único electrón no relativista y no describe los fotones recién creados/destruidos?

Si esto es correcto, ¿de dónde viene la interpretación de la "creación" de partículas, porque parece que no estamos describiendo los fotones producidos con ninguna función de onda, sino que simplemente postulamos que han sido creados? ¿Cuál es una buena explicación intuitiva para la interpretación en términos de creación de fotones?

Answer 1

En mi opinión, la respuesta a su pregunta es no . Así que podemos escribir nuestro problema como $\hat{H}\psi = E\psi$ y podemos derivar (consultar David Griffiths, "Introduction to Quantum Mechanics" por ejemplo) que $\psi^{n}\left( x\right) = A_n \left( a^{\dagger}\right)^n \psi_{0}\left( x\right)$ , donde $A_n$ es una constante de normalización, y $\psi_{0}\left(x \right)$ es la función de onda a nivel del suelo.

Así que el operador de creación $a^{\dagger}$ hace introduzca las funciones de onda. :)

Answer 2

Para mí, la interpretación del bosón sólo queda clara cuando se considera una situación de muchas partículas.

Cuando se trata de un solo oscilador armónico, se tiene una creación $a^{\dagger}$ y un operador de aniquilación $a$ . Cada vez que actúas con $a^{\dagger}$ es esencial aumentar la energía total del oscilador en un quanta de energía. Una forma de ver esto es que $H= \epsilon (n+ \frac{1}{2})$ es decir, su energía total sólo depende de las veces que haya actuado con $a^{\dagger}$ como $H$ esencialmente cuenta cuántas veces sucede esto y lo multiplica por alguna brecha de energía $\epsilon$ . La interpretación es que tiene una sola partícula que puede ser excitado hacia arriba o hacia abajo con las operaciones de la escalera. Nótese que aún no mencioné los bosones porque no tendría sentido como se explica a continuación.

Consideremos ahora una cadena de osciladores armónicos independientes. Se trata de la misma historia que antes, ya que los osciladores son completamente ajenos entre sí. Ahora etiquetamos cada oscilador con un índice $i$ para seguirlo. También etiquetamos su creación asociada $a^{\dagger}_i$ y operadores de aniquilación $a_i$ . Si se juega un poco con el álgebra, se puede demostrar que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas, $$ [a_i, a^{\dagger}_j] =\delta_{ij} \quad [a_i,a_j]=[a_i^{\dagger},a_j^{\dagger}]=0 $$ que es una propiedad definitoria de las partículas bosónicas (que sean o no fundamentales es otra historia, pueden, y son, cuasipartículas). La interpretación ahora es clara, en cada sitio se puede crear/destruir un bosón con sus correspondientes operadores de creación y aniquilación. La energía del sistema es simplemente la suma de las energías en cada sitio, o el número de excitaciones/bosones que tenemos en cada sitio, $$ H= \sum_i \epsilon (n_i+ \frac{1}{2}). $$

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Para terminar, sí, la función de onda que resuelve la ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial armónico será siempre una función de onda válida para dicha situación. Ahora bien, puedes interpretarla alternativamente como cuasipartículas bosónicas exactamente como se ha explicado anteriormente.