Número de soluciones reales de la ecuación $x^2+y^2+2xy-2014 x-2014y-2015=0$

Question

Número de soluciones reales de la ecuación $x^2+y^2+2xy-2014 x-2014y-2015=0$

solución que intento: $2x^2+2y^2+4xy-4028 x-4028y-4030=0$

$(x-2014)^2+(y-2014)^2+(x+y)^2=(2014)^2+(2014)^2+4030$

como lo resuelvo, por favor ayuda

Answer 1

Sugerencia $$x^2+y^2+2xy-2014 x-2014y-2015=0 \iff (x+y)^2-2014(x+y)-2015=0 \iff ...$$ nota $z=x+y$ y $$... \iff z^2-2014z-2015=0 \tag{1}$$ Porque $\Delta=2014^2+4\cdot2015>0$ habrá 2 soluciones $z_1,z_2 \in \mathbb{R}$ de $(1)$ y 2 líneas para mirar $y=z_1-x$ y $y=z_2-x$ .

Answer 2

Pista: su ecuación es equivalente a $$(x+y-2015) (x+y+1)$$

Answer 3

Por inspección encontramos las dos soluciones $(-1,0)$ y $(0,-1)$ .

Como una cónica no puede constar de dos puntos aislados, podemos concluir una infinidad de soluciones.